Question

Log3(x-2)+log3(x+6) = 2 Помогите решить. Я видела решения этого примера, но способ решения не подходит.

Answer 1

Ответ:

Смотрите вложение

__________________________________

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это уравнение. Начнем с того, что перепишем его в более удобной форме:

log3(x - 2) + log3(x + 6) = 2.

Сначала воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что для двух логарифмов с одним и тем же основанием (в данном случае основание 3) сумма логарифмов равна логарифму от произведения аргументов. Таким образом, мы можем записать:

log3((x - 2) * (x + 6)) = 2.

Теперь преобразуем уравнение в экспоненциальную форму, используя определение логарифма:

3^2 = (x - 2) * (x + 6), 9 = x^2 + 6x - 2x - 12, 9 = x^2 + 4x - 12.

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 + 4x - 12 - 9 = 0, x^2 + 4x - 21 = 0.

Теперь мы можем попытаться решить это квадратное уравнение. Мы можем попробовать разложение на множители:

(x + 7)(x - 3) = 0.

Это означает, что либо x + 7 = 0, либо x - 3 = 0.

Если решим первое уравнение, получим x = -7. Если решим второе, получим x = 3.

Теперь мы должны проверить оба значения в исходном уравнении, так как в некоторых случаях могут возникнуть значения, которые не являются допустимыми в логарифмических уравнениях.

Подставим x = -7:

log3((-7 - 2) * (-7 + 6)) + log3((-7 + 6) + 6) = 2, log3(-45) + log3(-1) = 2.

Логарифм от отрицательных чисел и логарифм от нуля не определены в области действительных чисел, поэтому значение x = -7 не подходит.

Теперь подставим x = 3:

log3((3 - 2) * (3 + 6)) + log3((3 + 6) + 6) = 2, log3(9) + log3(15) = 2.

Теперь мы можем сложить логарифмы:

log3(9 * 15) = 2, log3(135) = 2.

3^2 = 135, 9 = 135.

Это уравнение верно. Таким образом, единственное допустимое значение x, удовлетворяющее исходному уравнению, равно x = 3.

Итак, решение уравнения log3(x - 2) + log3(x + 6) = 2: x = 3.