Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3+3x^2-4 на отрезке [− 4; 1].​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

найдем точки экстремума

для этого найдем

y'=(x³)+(3x²)'-(4)' = 3x²+6x = 3x(x+2)

теперь приравняем это 0

3х(ч+2) = 0 ⇒х₁=0, х₂ = -2

обе точки входят в наш отрезок.

теперь посмотрим, кто из них кто.

если у"(х₀) > 0, то это точка локального минимума

если у"(х₀) < 0, то это точка локального максимума

у" = 6х+6

у"(0) = 6 ⇒ х=0 - точка локального минимума,  f(0) = -4

у"(-2) = -6 ⇒ х=-2 - точка локального максимума,  f(-2) = 0

теперь посмотрим на концах отрезка

f(-4) = -20 - значение меньше, чем в точке локального минимума

f(1) = -2 - значение не меньше и не больше, чем в локальных минимумах

ответ на отрезке [− 4; 1] функция имеет наименьшее значение в т х=-4

наибольшее значение в точке х = 0

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = x^3 + 3x^2 - 4 на заданном отрезке [-4, 1], нужно проанализировать значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри этого отрезка.

1. Начнем с вычисления значений функции на концах отрезка:

   • При x = -4: y = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 4 = -64 + 48 - 4 = -20
   • При x = 1: y = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0

2. Теперь найдем критические точки, где производная функции равна нулю: Вычислим производную функции y = x^3 + 3x^2 - 4: y' = 3x^2 + 6x. Решим уравнение 3x^2 + 6x = 0: 3x(x + 2) = 0 x = 0 или x = -2

3. Подставим найденные критические точки в функцию для определения значений:

   • При x = 0: y = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4
   • При x = -2: y = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-4, 1] равно -20 и достигается при x = -4, а наибольшее значение равно 0 и достигается при x = -2 или x = 1.