Question

Даны координаты А(4; 0; 1), В(2; 5; 0), С(5; 1; 3) точек А, В, С. Найдите: а) длины векторов АВ и АС; б) скалярное произведение векторов АВ и АС; в) угол между векторами АВ и АС

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) найдём величину вектора по формуле:

АВ=√((Ах-Вх)²+(Ау-Ву)²+(Аz-Bz)²=

=√((4-2)²+(0-5)²+(1-0)²)=√(2²+(-5)²+1²=

=√(4+25+1)=√30

AB=√30

Теперь найдём величину вектора АС по этой же формуле:

АС=((4-5)²+ (0-1)²+(1-3)²)=√((-1)²+(-1)²+(-2)²)=

=√(1+1+4)=√6

АС=√6

б) сначала найдём координаты вектора АВ по формуле:

АВ=(Вх-Ах; Ву-Ау; Вz-Az)=

=(2-4; 5-0; 0-1)=(-2; 5; -1)

AB(-2; 5; -1)

AC(5-4; 1-0; 3-1)=(1; 1; 2)

AC(1; 1; 2)

Теперь найдём их скалярное произведение по формуле:

АВ×АС=АВх×АСх+АВу×АСу+АВz×ACz=

-2×1+5×1+(-1)×2= -2+5-2=5-4=1

ОТВЕТ: 1

в) найдём угол между векторами по формуле:

(АВ×АС)/√((АВх²+АВу²+АВz²)(ACx²+ACy²+ACz²))= так как скалярное произведение мы наши в пункте "б", то мы запишем его значение сразу:

1/√((-2)²+5²+(-1)²)×(1²+1²+2²)=

=1/√((4+25+1)(1+1+2))=1/√(30×6)=1/√180=1/3√20

Мы нашли изначально длины векторов в пункте "а", АВ=√30; АС=√6, поэтому тоже можно их перемножить согласно этой формуле

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся следующие формулы:

1. Длина вектора: Длина вектора AB (или AC) вычисляется по формуле:

   |AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

   где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B (или C).

2. Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение AB и AC вычисляется по формуле:

   AB ⋅ AC = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)*(z3 - z1),

   где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B, (x3, y3, z3) - координаты точки C.

3. Угол между векторами: Угол θ между векторами AB и AC вычисляется по формуле:

   cos(θ) = (AB ⋅ AC) / (|AB| * |AC|).

Теперь, подставим данные из задачи:

Точка A: (4, 0, 1) Точка B: (2, 5, 0) Точка C: (5, 1, 3)

а) Длины векторов:

|AB| = √((2 - 4)^2 + (5 - 0)^2 + (0 - 1)^2) = √((-2)^2 + 5^2 + (-1)^2) = √(4 + 25 + 1) = √30

|AC| = √((5 - 4)^2 + (1 - 0)^2 + (3 - 1)^2) = √(1^2 + 1^2 + 2^2) = √6

б) Скалярное произведение:

AB ⋅ AC = (2 - 4)(5 - 4) + (5 - 0)(1 - 0) + (0 - 1)(3 - 1) = (-2)(1) + 5*1 + (-1)*2 = -2 + 5 - 2 = 1

в) Угол между векторами:

cos(θ) = (1) / (√30 * √6) ≈ 0.096225

θ = arccos(0.096225) ≈ 1.465 radians ≈ 84.07 degrees

Таким образом, длина AB = √30, длина AC = √6, скалярное произведение AB и AC = 1, угол между векторами AB и AC ≈ 84.07 градусов.