Question

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у = 2/x ; х = 1; х = 2; у = 0

Answer 1

См. рисунок

$V=\pi \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx \\\\V=\pi \int\limits^2_1 {(\frac{2}{x})^2 } \, dx =\pi\int\limits^2_1 {\frac{4}{x^2} } \, dx=\pi(-\frac{4}{x}\mid^2_1)=\pi(-\frac{4}{2}-(-\frac{4}{1}))=\pi(-2+4)=2\pi$

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного вращением вокруг оси Ox, ограниченного указанными кривыми, можно использовать метод цилиндрических оболочек или метод кольцевых пластин. Давайте воспользуемся методом цилиндрических оболочек.

Формула для объема тела, полученного вращением кривой y = f(x) вокруг оси Ox на интервале [a, b], выглядит следующим образом:

V = ∫[a, b] 2πx * f(x) * dx

В данном случае, у нас есть кривая y = 2/x, а ограничения x находятся в интервале [1, 2]. Подставим f(x) = 2/x в формулу:

V = ∫[1, 2] 2πx * (2/x) * dx V = 2π * ∫[1, 2] 2 dx V = 4π * [x] from 1 to 2 V = 4π * (2 - 1) V = 4π

Итак, объем тела, полученного вращением указанной фигуры вокруг оси Ox, равен 4π.