Question

Розв’яжіть нерівність log_(0,7)⁡(2x+6)≥ log_(0,7)⁡(x^2+6x+1)

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Спершу звернімо увагу на те, що обидві частини нерівності мають основу 0,7 у логарифмах. Це означає, що ми можемо записати обидві частини нерівності без логарифмів:

2x + 6 ≥ x^2 + 6x + 1

Тепер перенесемо всі члени в одну частину нерівності:

x^2 + 6x + 1 - 2x - 6 ≥ 0

x^2 + 4x - 5 ≥ 0

Тепер нам потрібно знайти інтервали, де ця квадратна нерівність виконується. Для цього можемо використовувати аналіз дискримінанта.

Дискримінант D = b^2 - 4ac, де a = 1, b = 4 і c = -5:

D = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

Так як дискримінант додатний, то у нас є два різних дійсних корені.

Також, з огляду на те, що коефіцієнт при a (у квадратному члені) додатній, нерівність буде відкритою вгору на інтервалах між коренями.

Знайдемо корені квадратного рівняння x^2 + 4x - 5 = 0, використовуючи квадратне рівняння:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-4 ± √36) / 2 = (-4 ± 6) / 2

Таким чином, ми маємо два корені: x = 1 і x = -5.

Отже, на інтервалах (-∞, -5) та (1, ∞) нерівність x^2 + 4x - 5 ≥ 0 виконується.

Підсумовуючи, розв'язком даної нерівності log_(0,7)(2x + 6) ≥ log_(0,7)(x^2 + 6x + 1) є інтервали (-∞, -5) та (1, ∞).