Question

Найдите точку максимума функции F(x)= x-sin2x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y = x-sin(2*x)

найдем критические точки

y' = -2cos(2x)+1

-2cos(2x)+1 = 0

х₁ = π/6; х₂ = 5π/6

Вычисляем значения функции

у(π/6) = -√3/2 +π/6 - минимум

у(5π/6) = √3/2+ 5π/6- максимум

Ответ:

у(5π/6) = √3/2+ 5π/6- максимум

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции F(x) = x - sin(2x) сначала найдем её производную и затем решим уравнение производной равной нулю.

Первая производная функции F(x) по переменной x: F'(x) = 1 - 2cos(2x).

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю: 1 - 2cos(2x) = 0.

Решим это уравнение относительно cos(2x): 2cos(2x) = 1, cos(2x) = 1/2.

Находим все углы, удовлетворяющие этому условию: 2x = π/3 + 2πn, где n - целое число. x = π/6 + πn, где n - целое число.

Теперь остается проверить значения производной на точках, где она меняет знак (смена максимума на минимум и наоборот), а также на концах интервалов [π/6 + πn, π/6 + π(n+1)].

Проанализируем значения производной F'(x) между кратными значениями π/6:

• Для x = π/6 + πn: F'(π/6 + πn) = 1 - 2cos(π/3) = 1 - 1 = 0.
• Для x = π/6 + π(n+1/2): F'(π/6 + π(n+1/2)) = 1 - 2cos(2π/3) = 1 + 1 = 2.

Таким образом, на интервалах [π/6 + πn, π/6 + π(n+1/2)] производная положительна, а на интервалах [π/6 + π(n+1/2), π/6 + π(n+1)] она отрицательна. Это означает, что функция F(x) имеет локальный максимум в точках x = π/6 + πn, где n - четное число.

В данном случае, значение функции в точках максимума: F(π/6 + πn) = π/6 + πn - sin(2(π/6 + πn)).

Можно найти значение в конкретной точке, например при n = 0: F(π/6) = π/6 - sin(π/3) = π/6 - √3/2.

Таким образом, точка максимума функции F(x) = x - sin(2x) находится при x = π/6 + πn, и значение в этой точке равно F(π/6 + πn) = π/6 + πn - sin(2(π/6 + πn)).