Question

1. Найдите область определения функции f(x)=log₂(x²-2x-15) 2. Решите неравенство log3(5-2x)≤2

Answer 1

1. x²-2x-15>0  По Виета корни левой части равны х=5, х=-3

(x-5)*(x+3)>0

____-3_____5________

+               -            +

x∈(-∞;-3)∪(5;+∞)

2.ОДЗ  х<2.5

5-2x≤9

х≥-4

с учетом ОДЗ получим х∈[-4;2.5)

Answer 2

Давайте начнем с первого вопроса.

1. Область определения функции f(x) = log₂(x² - 2x - 15):

Логарифм определен только для положительных значений аргумента. Поэтому мы должны найти те значения x, для которых выражение x² - 2x - 15 > 0.

Факторизуем это квадратное уравнение:

x² - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3).

Найдем корни уравнения:

x - 5 = 0 => x = 5, x + 3 = 0 => x = -3.

Теперь посмотрим на знаки в интервалах, образованных этими корнями и проверим, когда выражение x² - 2x - 15 > 0:

1. x < -3: Отрицательно
2. -3 < x < 5: Положительно
3. x > 5: Положительно

Таким образом, область определения функции f(x) = log₂(x² - 2x - 15) - это интервал (-3, 5).

Теперь перейдем ко второму вопросу.

2. Решение неравенства log₃(5 - 2x) ≤ 2:

Начнем с преобразования неравенства:

log₃(5 - 2x) ≤ 2.

Применим свойство логарифма, согласно которому logₐ(b) ≤ c эквивалентно тому, что a^c ≥ b:

3^2 ≥ 5 - 2x.

9 ≥ 5 - 2x.

Теперь решим неравенство относительно x:

-2x ≤ 9 - 5,

-2x ≤ 4,

x ≥ -2.

Итак, решение неравенства log₃(5 - 2x) ≤ 2 это x ≥ -2.