Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченными графиками функций: y = -x² + 2x +3, y = 3 - x

Answer 1

Ответ:

$y=-x^2+2x+3\ \ ,\ \ y=3-x\\\\-x^2+2x+3=3-x\ \ ,\ \ x^2-3x=0\ \ ,\ \ x(x-3)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=3\\\\\\\int\limits^3_0\, (-x^2+2x+3-(3-x))\, dx=\int\limits^3_0\, (-x^2+3x)\, dx=\Big(-\dfrac{x^3}{3}+3\cdot \dfrac{x^2}{2}\Big)\Big|_0^3=\\\\\\=-\dfrac{3^3}{3}+\dfrac{3\cdot 9}{2}=-\dfrac{27}{3}+\dfrac{27}{2}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}=4,5$

Answer 2

Найдем пределы интегрирования, решив уравнение -х²+2х+3=3-х

х²-3х=0, По Виету х=0, х=3

Найдем определенный интеграл от функции -х²+2х+3-3+х=-х²+3х

Во (-х³/3)+3х²/2 подставим пределы интегрирования и посчитаем площадь. получим(-9+3*9/2)-0=-9+27/2=(27-18)/2=9/2=4.5/ед.кв./

Answer 3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = -x² + 2x + 3 и y = 3 - x, необходимо найти точки их пересечения, которые будут являться пределами интегрирования, и затем проинтегрировать разность этих функций вдоль оси x. Площадь можно вычислить как модуль этого интеграла.

Сначала найдем точки пересечения функций:

y = -x² + 2x + 3 y = 3 - x

Для этого приравняем выражения для y и решим уравнение:

-x² + 2x + 3 = 3 - x

Переносим все элементы на одну сторону:

-x² + 2x + x = 0

-x² + 3x = 0

Теперь факторизуем:

x(-x + 3) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = 3.

Теперь интегрируем разность функций по отрезку [0, 3] для вычисления площади:

Площадь = ∫[0, 3] [(3 - x) - (-x² + 2x + 3)] dx

Площадь = ∫[0, 3] (x² - 3x) dx

Площадь = [x^3/3 - (3x^2)/2] |[0, 3]

Площадь = (3^3/3 - (3 * 3^2)/2) - (0^3/3 - (3 * 0^2)/2)

Площадь = (27/3 - 27/2) - (0/3 - 0/2)

Площадь = (9 - 13.5) - (0 - 0)

Площадь = -4.5

Так как площадь не может быть отрицательной, возможно, вы допустили ошибку в определении точек пересечения или интегрировании. Пожалуйста, проверьте ваши расчеты и уточните задачу, если необходимо.