Question

Решить ду: y'+3xy-5y=3y'

Answer 1

Ответ: y=C*e^(3/4*x²-5/2*x).

Пошаговое объяснение:

Данное уравнение можно записать в виде 2*y'=y*(3*x-5), или окончательно - в виде dy/y=1/2*(3*x-5)*dx. Интегрируя, находим ln/y/=3/4*x²-5/2*x+ln/C/, где C - произвольная, но отличная от нуля постоянная. Отсюда y=C*e^(3/4*x²-5/2*x).

Замечание: данное уравнение является однородным, то есть имеет и решение y=0. Но такое решение является тривиальным и не представляет интереса, поэтому мы его не рассматриваем.

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

y' + 3xy - 5y = 3y'

Первым шагом можно сгруппировать все члены с y' на одну сторону:

y' - 3y' + 3xy - 5y = 0

Упростим:

-2y' + 3xy - 5y = 0

Теперь можем разделить на -2:

y' - \frac{3}{2}xy + \frac{5}{2}y = 0

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью метода интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель вычисляется как экспонента интеграла коэффициента при y (в данном случае \frac{5}{2}):

M(x) = e^{\int \frac{5}{2} dx} = e^{\frac{5}{2}x}

Умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель:

e^{\frac{5}{2}x} y' - \frac{3}{2}xe^{\frac{5}{2}x}y + \frac{5}{2}e^{\frac{5}{2}x}y = 0

Теперь левую часть можно записать как производную произведения e^{\frac{5}{2}x}y по x:

\frac{d}{dx} (e^{\frac{5}{2}x}y) = 0

Интегрируем обе стороны:

∫\frac{d}{dx} (e^{\frac{5}{2}x}y) dx = ∫0 dx

e^{\frac{5}{2}x}y = C

где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь выразим y:

y = \frac{C}{e^{\frac{5}{2}x}} = Ce^{-\frac{5}{2}x}

Где C - произвольная константа.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

y(x) = Ce^{-\frac{5}{2}x}

где C - произвольная константа.