Question

Дослідити ряд на абсолютну та умовну збіжність ∞ ∑(−1)nn2n−7 i=1

Answer 1

Ответ:

....................

Answer 2

Давайте розглянемо ряд ∑(−1)^(n*n−7) від i = 1 до ∞ і проаналізуємо його абсолютну та умовну збіжність за допомогою тесту д'Аламбера та альтернативного тесту.

1. Тест д'Аламбера:

Тест д'Аламбера використовується для визначення абсолютної збіжності ряду. Якщо ми розглядаємо ряд ∑aₙ, то цей тест використовує відношення aₙ₊₁ / aₙ. Якщо границя цього відношення, коли n стрімкує до нескінченності, менше за 1, то ряд абсолютно збігається; якщо більше за 1, то ряд розходиться; якщо дорівнює 1, то тест не дає відповіді.

У нашому випадку aₙ = (-1)^(n*n-7). Давайте обчислимо відношення aₙ₊₁ / aₙ:

aₙ₊₁ / aₙ = (-1)^(nn-7 + 1) / (-1)^(nn-7) = (-1)^(nn-6 + nn-7) / (-1)^(nn-7) = (-1)^(-6) * (-1)^(nn-7) / (-1)^(n*n-7) = -1.

Отже, ми бачимо, що границя цього відношення дорівнює -1, що менше за 1. Отже, за тестом д'Аламбера ряд абсолютно збігається.

2. Альтернативний тест:

Альтернативний тест можна використовувати для визначення умовної збіжності ряду. Він базується на альтернативному порівнянні з альтернативним рядом, у якого знаки елементів змінені на протилежні.

Давайте розглянемо альтернативний ряд ∑(1/n^2) від n = 1 до ∞. Цей ряд є позитивним, зменшується і його елементи прямують до нуля, тобто він є спадаючим рядом. Це важливо для застосування альтернативного тесту.

У нашому випадку ми маємо альтернативний ряд зі знаками, які чергуються з (-1)^(nn-7). Якщо абсолютне значення (-1)^(nn-7) зменшується і його елементи прямують до нуля при збільшенні n, то за альтернативним тестом ряд ∑(−1)^(n*n-7) є умовно збіжним.

Зі слів задачі нам не відомо, як змінюється абсолютне значення (-1)^(nn-7) при збільшенні n, але за умовою тесту д'Аламбера ми вже знаємо, що ряд абсолютно збіжний. Тому, за альтернативним тестом, ми також можемо прийняти, що ряд ∑(−1)^(nn-7) є умовно збіжним.

Таким чином, ми визначили, що даний ряд ∑(−1)^(n*n-7) є абсолютно збіжним за тестом д'Аламбера та умовно збіжним за альтернативним тестом.