Question

Дослідити на збіжність ряд факторіалів: 1+1/3!+1/5!+1/7!+...

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

признак Даламбера

если для положительного числового ряда $\sum_{n \to \infty} a_n$ существует предел отношения последующего члена к предыдущему $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =D$, то:

а) при D < 1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) при D > 1  ряд расходится.

в) при D = 1  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

рассмотрим предел для нашего ряда

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{(n+1)!} : \frac{1}{n!} ) } = \lim_{n \to \infty} a_n \frac{n!}{(n+1)! } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} =0$

ряд сходится

Answer 2

Для дослідження збіжності даного ряду, ми можемо використовувати тест збіжності додатків. Розглянемо ряд:

1 + 1/3! + 1/5! + 1/7! + ...

Спочатку давайте знайдемо загальний член цього ряду. Зауважте, що члени ряду мають форму 1/(2n+1)!, де n - натуральне число, що починається з 0.

Отже, загальний член цього ряду може бути записаний як:

a_n = 1/(2n+1)!

Тепер використаємо тест збіжності додатків:

1. Обчислимо ліміт:

lim (n → ∞) a_n = lim (n → ∞) [1/(2n+1)!]

2. Використовуючи аналіз відомого факту, що n! зростає дуже швидко, ми можемо сказати, що (2n+1)! також зростає дуже швидко.

3. Отже, ліміт дорівнює нулю:

lim (n → ∞) [1/(2n+1)!] = 0

4. Оскільки ліміт загального члена дорівнює нулю, за тестом збіжності додатків ряд є збіжним.

Отже, ряд

1 + 1/3! + 1/5! + 1/7! + ...

збігається до деякого обмеженого значення. Це можна використовувати для обчислення суми ряду, якщо це необхідно.