Question

Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями у = х^3 + 2х, у = 0, х = 1, х = 2

Answer 1

Ответ:

6,75$\pi$

Пошаговое объяснение:

y=x³+2x, y=0, x=1, x=2

V= π$\int\limits^2_1 {(x^{3} + 2x) } \, dx = \pi \frac{x^{4} }{4} + \frac{2x^{2}}{2} = \pi \frac{x^{4} }{4} + x^{2} |$₁² = $\pi \frac{2^{4} }{4} + 2^{2} - (\frac{1^{4} }{4} + 1^{2} ) =\pi \frac{16}{4} + 4 - \frac{1}{4} - 1 = \pi 4+4-1-\frac{1}{4} = 6\frac{3}{4} \pi = 6,75 \pi$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной заданными линиями, необходимо найти интеграл функции, описывающей верхнюю границу фигуры, минус интеграл функции, описывающей нижнюю границу фигуры, на заданном интервале.

В данном случае верхней границей является уравнение y = x^3 + 2x, а нижней границей - y = 0 (ось x).

Таким образом, площадь фигуры можно найти следующим образом:

$S = \int_{1}^{2} (x^3 + 2x) \, dx - \int_{1}^{2} 0 \, dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int_{1}^{2} (x^3 + 2x) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} + x^2\right]_{1}^{2} = \left(\frac{16}{4} + 4\right) - \left(\frac{1}{4} + 1\right) = 4 + 4 - \frac{1}{4} - 1 = \frac{15}{4}$

Второй интеграл равен нулю, так как интеграл от константы на любом интервале равен нулю:

$\int_{1}^{2} 0 \, dx = 0$

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями $y = x^3 + 2x$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 2$, равна:

$S = \frac{15}{4}$