Question

Найти первообразную f(x) = 6 cos () + 1.

Answer 1

Ответ:

F ( x ) =  18 sin ( 1 /3 x )  + x + C

Пошаговое объяснение:

Функция  F ( x )  может быть найдена с помощью вычисления неопределенного интеграла от производной  f ( x ) .

F ( x ) = ∫ f ( x ) d x

Выпишем интеграл, чтобы решить его.

F ( x ) = ∫ 6 cos ( x/ 3 ) + 1 d x

Разложим интеграл на несколько интегралов.

∫ 6 cos ( x /3 ) d x + ∫ 1 d x

Поскольку  6  является константой по отношению к  x , вынесем  6  из интеграла.

6 ∫ cos ( x /3 ) d x + ∫ 1 d x

Пусть  u = x 3 . Тогда  d u = 1 3 d x , следовательно  3 d u = d x . Переписать, используя  u  и  d u .

6 ∫ cos ( u ) 1 /(1/ 3) d u + ∫ 1 d x

Упростим.

6 ∫ 3 cos ( u ) d u + ∫ 1 d x

Поскольку  3  является константой по отношению к  u , вынесем  3

из интеграла.

6 ( 3 ∫ cos ( u ) d u ) + ∫ 1 d x

Умножим  3  на  6 .

18 ∫ cos ( u ) d u + ∫ 1 d x

Интеграл  cos ( u )  относительно  u  равен  sin ( u ) .

18 ( sin ( u ) + C ) + ∫ 1 d x

Поскольку  1  является константой по отношению к  x , вынесем  1  из интеграла.

18 ( sin ( u ) + C ) + x + C

Упростим.

18 sin ( u ) + x + C

Заменим все  u  на  x /3 .

18 sin ( x /3 ) + x + C

Изменим порядок членов и получаем ответ:

F ( x ) =18 sin ( 1 /3 x ) + x + C

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции $f(x) = 6 \cos(x) + 1$, мы будем интегрировать каждый из слагаемых отдельно.

Интеграл первого слагаемого $6 \cos(x)$ можно найти следующим образом:

$\int 6 \cos(x) \, dx = 6 \int \cos(x) \, dx = 6 \cdot \sin(x) + C_1,$

где $C_1$ - произвольная постоянная интегрирования.

Интеграл второго слагаемого $1$ просто равен $x$, так как интегрирование константы даёт $x$:

$\int 1 \, dx = x + C_2,$

где $C_2$ - ещё одна произвольная постоянная интегрирования.

Итак, первообразная функции $f(x) = 6 \cos(x) + 1$ будет:

$F(x) = 6 \sin(x) + x + C,$

где $C = C_1 + C_2$ - общая произвольная постоянная интегрирования.