Question

Найдите первообразную функции f(x)=sinx+x, график которой проходит через точку М(0;3).

Answer 1

Ответ:

$F(x) = -cos x + \frac{x^2}{2} + 4$

Пошаговое объяснение:

$F(x) = \int {f(x)} \, dx = \int {(sin x + x)} \, dx = -cos x + \frac{x^2}{2} + C$

Найдем $C$. По условию график проходит через точку М(0;3), =>

$-cos 0 + \frac{0^2}{2} + C = 3\\\\-1 + 0 + C = 3\\\\C = 4$

Тогда, первообразная функции f(x)=sinx+x, график которой проходит через точку М(0;3) - это $F(x) = -cos x + \frac{x^2}{2} + 4$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = \sin x + x$, мы должны интегрировать каждый компонент по отдельности.

Интегрируя $\sin x$, получим $-\cos x + C_1$, где $C_1$ - произвольная постоянная.

Интегрируя $x$, получим $\frac{1}{2}x^2 + C_2$, где $C_2$ - также произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции $f(x) = \sin x + x$ имеет вид: $F(x) = -\cos x + \frac{1}{2}x^2 + C,$ где $C = C_1 + C_2$ - постоянная интегрирования.

Чтобы найти конкретное значение постоянной $C$ и удовлетворить условию, что график проходит через точку $M(0, 3)$, подставим значения $x = 0$ и $y = 3$ в уравнение: $3 = -\cos 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^2 + C,$ $3 = -1 + C,$ $C = 4.$

Таким образом, первообразная функции $f(x) = \sin x + x$ с учетом условия прохождения через точку $M(0, 3)$ имеет вид: $F(x) = -\cos x + \frac{1}{2}x^2 + 4.$