Question

Найти решение дифференциального уравнения уу'+х=0 при начальных условиях у=4 х= -2

Answer 1

Ответ:

$y=\sqrt{20-x^2}$

Пошаговое объяснение:

$yy'+x=0, y(-2)=4$

$y\frac{dy}{dx}=-x$

$ydy=-xdx => \int ydy=-\int xdx => \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + \frac{C^2}{2} => x^2+y^2 = C^2 => y=\sqrt{C^2-x^2}$

(перед корнем знак плюс, так как в дополнительном условии y положительный)

Определим константу С из дополнительного условия:

$(-2)^2 + 4^2 = C^2 => C^2 = 20 => y=\sqrt{20-x^2}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделяющихся переменных. Первым шагом является выделение всех переменных y и y' на одну сторону уравнения, а все переменные x на другую сторону:

y * y' + x = 0

Затем дифференцируем обе стороны по переменной x:

y' * y' + y + 0 = 0

Теперь можно решить получившееся уравнение второго порядка относительно y'. Для этого введем новую переменную v = y', тогда y'' = dv/dx. Подставим это в уравнение:

v * dv/dx + y = 0

Теперь мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной v. Разделяя переменные и интегрируя, получим:

v dv = -y dx

∫v dv = -∫y dx

(v^2) / 2 = -xy + C1

Теперь заменим обратно переменную v на y':

(y'^2) / 2 = -xy + C1

Далее решим уравнение относительно y':

y'^2 = -2xy + 2C1

y' = ±√(2C1 - 2xy)

Теперь подставим начальное условие y = 4 и x = -2, чтобы найти конкретное значение постоянной C1:

4' = ±√(2C1 - 2 * (-2) * 4)

0 = ±√(2C1 + 16)

Отсюда видно, что уравнение не имеет решений, так как корень из отрицательного числа действительных значений не имеет. Возможно, была допущена ошибка в условии или введены неверные начальные условия.