Question

Даны точки М1 (1; 3; -12) и M2 (6; 0; 3). Точка М делит отрезок М1М2 в отношении 3:2. Найдите координаты М (x; y; z).

Answer 1

х=(1+1.5*6)/(1+1.5)=4

у=(3+1.5*0)(1+1.5)=1.2

z=(-12+1.5*3)/(1+1.5)=-3

М(4;1.2;-3)

Answer 2

Чтобы найти координаты точки М, которая делит отрезок М1М2 в данном отношении, можно воспользоваться формулами для нахождения точки по координатам двух других точек и заданному отношению.

Отношение, в данном случае, равно 3:2, что означает, что отношение расстояний М1М к М2М равно 3/2. Можно записать это в виде уравнения:

|М1М| / |М2М| = 3/2.

Сначала найдем координаты вектора М1М2:

М1М2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (6 - 1, 0 - 3, 3 - (-12)) = (5, -3, 15).

Теперь найдем длины отрезков М1М и М2М:

|М1М| = √(x^2 + y^2 + z^2) (длина вектора М1М), |М2М| = √((x - 6)^2 + y^2 + (z - 3)^2) (длина вектора М2М).

Подставим координаты в формулу для отношения:

√(x^2 + y^2 + z^2) / √((x - 6)^2 + y^2 + (z - 3)^2) = 3/2.

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x^2 + y^2 + z^2) / ((x - 6)^2 + y^2 + (z - 3)^2) = 9/4.

Далее, перекрестно перемножаем и упрощаем:

4(x^2 + y^2 + z^2) = 9((x - 6)^2 + y^2 + (z - 3)^2).

Раскроем скобки:

4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 9x^2 - 108x + 9y^2 + 9z^2 - 54z + 9y^2 + 9z^2 - 18z.

Упростим:

0 = 5x^2 + 1y^2 + 10z^2 - 108x - 72z.

Теперь выразим одну из переменных (например, y) из уравнения М1М2 и подставим полученное выражение в уравнение отношения:

y = (-3x + 15z) / 5.

Подставляем это выражение для y в уравнение отношения:

0 = 5x^2 + 1((-3x + 15z) / 5)^2 + 10z^2 - 108x - 72z.

Теперь у нас есть уравнение с двумя переменными x и z. Решим его численно или используя программу для решения систем уравнений. В результате получим координаты точки М (x, y, z), которые делят отрезок М1М2 в заданном отношении 3:2.