Question

Ребят срочно надо, помогите пожалуйста Найти первообразную функции:f(x)=3/sin^2 5x+ 1/(4x+6)^5

Answer 1

F(x)=(-3/5)ctg(5x)-(1/16)*(4x+6) ⁻⁴+c

c=const

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = \frac{3}{\sin^2(5x)} + \frac{1}{(4x+6)^5}$, мы можем разбить ее на две отдельные функции и найти первообразную каждой из них по отдельности.

Первообразная функции $\frac{3}{\sin^2(5x)}$ может быть найдена с помощью замены переменной. Давайте заменим $u = \sin(5x)$. Тогда $du = 5\cos(5x)dx$ и $dx = \frac{du}{5\cos(5x)}$. Заменяя переменные в исходной функции, получаем:

$$\int \frac{3}{\sin^2(5x)}dx = \int \frac{3}{u^2} \cdot \frac{du}{5\cos(5x)} = \frac{3}{5} \int \frac{du}{u^2} = -\frac{3}{5u} + C_1$$

Теперь рассмотрим первообразную функции $\frac{1}{(4x+6)^5}$. Мы можем использовать формулу обратной замены для интеграла:

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x)dx = F(g(x)) + C_2$$

Здесь $F(x)$ - первообразная функции $f(x)$. В данном случае $f(x) = \frac{1}{x^5}$ и $g(x) = 4x+6$. Таким образом:

$$\int \frac{1}{(4x+6)^5}dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^5} du = -\frac{1}{12u^4} + C_2$$

где мы снова использовали замену переменной $u = 4x+6$.

Итак, первообразная исходной функции $f(x)$ равна:

$$-\frac{3}{5\sin(5x)} - \frac{1}{12(4x+6)^4} + C$$

где $C = C_1 + C_2$ - произвольная постоянная.