Question

Найти интеграл (x^1/2-x^1/3+x^1/4)/x^2 dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: решение в файле

Answer 2

Для нахождения интеграла $\int \frac{x^{1/2} - x^{1/3} + x^{1/4}}{x^2} dx$, давайте разложим каждое слагаемое и затем интегрируем их по отдельности:

$$\begin{align*} \int \frac{x^{1/2}}{x^2} dx - \int \frac{x^{1/3}}{x^2} dx + \int \frac{x^{1/4}}{x^2} dx \end{align*}$$

Сокращая $x$ в знаменателе каждого слагаемого, получим:

$$\begin{align*} \int x^{-3/2} dx - \int x^{-5/3} dx + \int x^{-7/4} dx \end{align*}$$

Интегрируя каждое слагаемое, получим:

$$\begin{align*} -2x^{-1/2} + \frac{3}{2}x^{-2/3} - \frac{4}{3}x^{-3/4} + C \end{align*}$$

где $C$ - это постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл $\int \frac{x^{1/2} - x^{1/3} + x^{1/4}}{x^2} dx$ равен:

$$-2x^{-1/2} + \frac{3}{2}x^{-2/3} - \frac{4}{3}x^{-3/4} + C$$