Question

СРОЧНО 35 БАЛЛОВ! Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 1/3 x ^ 3 + 3/2 x ^ 2-4x + 4 на отрезке [0; 3].

Answer 1

Ответ:

$y_{max} = y(0) = 4, y_{min} = y(1) = 1\frac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения необходимо найти производную функции:

$y^{'} = x^{2} + 3x - 4$

Найдем дискриминант:

D = 9 - 4*1*(-4) = 25

Найдем значение функции:

$y_{1} = \frac{-3-5}{2} = -4$

$y_{2} = \frac{-3+5}{2} = 1$

Поскольку значение -4 не входит в заданный диапазон [0;3], значит наибольшее значение достигается в крайней точке диапазона 0, а наименьшее - в найденной точке 1.

Вычислим значение функции в найденных точках:

y(0) = 4

y(1) = 1/3 +3/2 = 8/6 = 4/3 = 1 1/3

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном интервале, мы должны анализировать её производную. Начнем с нахождения производной функции y относительно x:

y = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 4x + 4

y' = d/dx [(1/3)x^3 + (3/2)x^2 - 4x + 4] = x^2 + 3x - 4

Далее найдем критические точки функции, то есть значения x, при которых производная равна нулю или не существует:

x^2 + 3x - 4 = 0

Это уравнение квадратного типа. Решим его, используя квадратное уравнение или графический метод:

(x + 4)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = -4 и x = 1.

Изначально нам задан интервал [0; 3]. Проверим значения функции на концах интервала и в найденных критических точках:

1. При x = 0: y(0) = (1/3)(0)^3 + (3/2)(0)^2 - 4*(0) + 4 = 4

2. При x = 3: y(3) = (1/3)(3)^3 + (3/2)(3)^2 - 4*(3) + 4 = 22.5

3. При x = -4: y(-4) = (1/3)(-4)^3 + (3/2)(-4)^2 - 4*(-4) + 4 = -20.67

4. При x = 1: y(1) = (1/3)(1)^3 + (3/2)(1)^2 - 4*(1) + 4 = 0.5

Таким образом, на отрезке [0; 3] наименьшее значение функции равно -20.67 (достигается при x = -4), а наибольшее значение равно 22.5 (достигается при x = 3).