Question

Пожалуйста, помогите срочно!!! Нужно решить дифференциальное уравнение: (1+x^2)y'+2xy=3x^2​

Answer 1

Ответ:

$y(x)=\frac{x^{3}+Const }{(1+x^{2}) }$

Пошаговое объяснение:

Замечаем,  что производная от выражения  $(1+x^{2} )*y$ равна

$(1+x^{2} )*y'+2*x*y$ , Интегрируя левую и правую часть получаем

$(1+x^{2} )*y=x^{3}+Const$

Отсюда $y(x)=\frac{x^{3}+Const }{(1+x^{2}) }$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение. Давайте начнем.

Дано дифференциальное уравнение:

(1 + x^2)y' + 2xy = 3x^2

Для начала, давайте выразим производную y':

(1 + x^2)y' = 3x^2 - 2xy

Теперь разделим обе стороны на (1 + x^2):

y' = (3x^2 - 2xy) / (1 + x^2)

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Разделим числитель и знаменатель дроби на x^2:

y' = (3 - 2y/x) / (1/x + x)

Далее, введем замену переменных: u = y/x. Тогда y' = u'x + u.

Подставим замену в уравнение:

u'x + u = (3 - 2u) / (1/x + x)

Перемножим обе стороны на x:

u'x^2 + ux = 3x - 2ux^2

Приведем подобные члены:

u'x^2 + 3ux^2 = 3x

u'x^2 + 3ux^2 - 3x = 0

Теперь это уравнение можно решить как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно стало разрешимым разделяющимися переменными. Выразим u':

u' = (3x - 3ux^2) / x^2(1 + 3x)

Разделим числитель и знаменатель дроби на x:

u' = (3 - 3u/x) / (1 + 3x)

Теперь это уравнение разрешимо разделением переменных. Выразим u'x:

u'x = (3 - 3u/x) / (1 + 3x)

Интегрируем обе стороны:

∫(1/u - 3/x) du = ∫3x dx

ln|u| - 3ln|x| = 3/2 * x^2 + C1

ln|u| - ln|x^3| = 3/2 * x^2 + C1

ln|u/x^3| = 3/2 * x^2 + C1

u/x^3 = e^(3/2 * x^2 + C1)

u = x^3 * e^(3/2 * x^2 + C1)

Теперь вернемся к исходной переменной y:

y = u * x

y = x * x^3 * e^(3/2 * x^2 + C1)

y = x^4 * e^(3/2 * x^2 + C1)

Это и есть общее решение дифференциального уравнения.