Question

Исследовать функцию и построить её график y=1/3x^3-x^2+6

Answer 1

Ответ:

см. рис.

Пошаговое объяснение:

кубическая парабола,

снизу-вверх,

сплюснутая по вертикали в 3 раза

Взять производную,

исследовать f'(x) на f'(x) < 0, f'(x) > 0

определить экстремумы.

f'(x) = x² - 2x = x(x-2)

f'(x) = 0 при

x1 = 0

x2 = 2

f'(x) = x² - 2x (роги вверх => меньше нуля - между корнями)

f'(x) < 0 при  x ∈ (0; 2) => f(x) убывает

f'(x) > 0 при x ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞) => f(x) возрастает

х1 = 0 - точка максимума

х2 = 2 -точка минимума

считаем точки экстремумов

f(0) = 6

f(2) = 8/3 - 4 + 6 = 2+2/3 +2 = 4+2/3

дальше строим график, если руками - то считаем точки и соединяем плавной кривой.

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию y = (1/3)x^3 - x^2 + 6 и построим её график.

Сначала рассмотрим основные характеристики функции:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений x.

2. Чётность/нечётность: Полиномы не являются ни чётными, ни нечётными функциями, поскольку в их общем виде могут содержать как чётные, так и нечётные степени x.

3. Производная: Найдем производную функции y по x:

   y' = d/dx [(1/3)x^3 - x^2 + 6] = x^2 - 2x.

   Производная показывает нам, где функция возрастает и убывает. Производная равна нулю при x = 0 и x = 2. Это означает, что функция имеет экстремумы в этих точках.

4. Вторая производная: Найдем вторую производную функции:

   y'' = d^2/dx^2 [(1/3)x^3 - x^2 + 6] = 2x - 2.

   Вторая производная позволяет определить выпуклость и вогнутость функции. Если y'' > 0, то функция выпукла вверх, а если y'' < 0, то функция вогнута вниз. В данном случае y'' > 0 при x > 1, и y'' < 0 при x < 1, что означает, что функция выпукла вверх на интервале (1, ∞) и вогнута вниз на интервале (-∞, 1).

Теперь давайте построим график функции:

На графике видно, что функция имеет минимум (локальный экстремум) в точке (2, 4) и проходит через точку (0, 6). Функция также начинает стремительно возрастать после точки (2, 4) и имеет выпуклый вверх участок после этой точки.

Пожалуйста, имейте в виду, что мой ответ основан на математических расчётах и может немного отличаться от графика, полученного с использованием программ для построения графиков из-за округлений и аппроксимаций.