Question

Решите в целых числах 9x^2-y^2=14

Answer 1

9x^2-y^2=14

(3x - y)(3x + y) = 14

раз x y целые, то 3x-y  3x+ y тоже целые

Смотрим разложение 14

14 = 1*14   14 = 2*7   14 = -2*(-7)  14 = -1*(-14)

14 = 14*1   14 = 7*2   14 = -7*(-2)  14 = -14*(-1)

решаем 8 систем

1. 3x - y = 1

3x + y = 14

6x = 15 нет решений в целых числах

2. 3x - y = 14

3x + y = 1

6x = 15 нет решений в целых числах

3. 3x - y = 2

3x + y = 7

6x = 9 нет решений в целых числах

4. 3x - y = 7

3x + y = 2

6x = 9 нет решений в целых числах

5. 3x - y = -1

3x + y = -14

6x = -15 нет решений в целых числах

6. 3x - y = -14

3x + y = -1

6x = -15 нет решений в целых числах

7. 3x - y = -2

3x + y = -7

6x = -9 нет решений в целых числах

8. 3x - y = -7

3x + y = -2

6x = -9 нет решений в целых числах

ответ  нет решений в целых числах

Answer 2

Данное уравнение является диофантовым уравнением второй степени (уравнением Пелля). Чтобы найти его целочисленные решения, можно воспользоваться методом, который основан на приближениях квадратных корней.

Исходное уравнение: 9x^2 - y^2 = 14

Мы видим, что первое слагаемое – это квадрат числа, а второе – также квадрат числа. Попробуем рассмотреть подходящие приближения квадратных корней и посмотреть, какие значения удовлетворяют уравнению.

Квадратный корень из 14 находится между 3 и 4: √14 ≈ 3.74

Попробуем разложить этот корень на разность двух квадратов: (4 + 3) * (4 - 3) = 16 - 9 = 7

Теперь мы можем записать уравнение в следующем виде: 9x^2 - y^2 = 7

Это уравнение аналогично первому, но знаки слева и справа поменялись. Это означает, что у нас есть такие целые числа x и y, что:

9x^2 - y^2 = 7

Рассмотрим первые несколько значений x и y, удовлетворяющих этому уравнению:

1. x = 1, y = 2: 9 * 1^2 - 2^2 = 7 (Подходит)
2. x = 2, y = 5: 9 * 2^2 - 5^2 = 7 (Подходит)
3. x = 3, y = 8: 9 * 3^2 - 8^2 = 7 (Подходит)
4. x = 4, y = 11: 9 * 4^2 - 11^2 = -26 (Не подходит)
5. x = 5, y = 14: 9 * 5^2 - 14^2 = -35 (Не подходит)

Таким образом, целочисленные решения диофантова уравнения 9x^2 - y^2 = 14 – это (x, y) = (1, 2), (2, 5) и (3, 8), а также их комбинации с умножением на -1.