Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y=(x+1)2, y=x+3.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того щоб знайти площу фігури, обмеженої двома функціями y = (x + 1)^2 та y = x + 3, необхідно знайти точки їх перетину та інтегрувати різницю між цими функціями від однієї знаходки до іншої.

1. Знайдемо точки перетину: Поставимо дві рівності у рівняннях: (x + 1)^2 = x + 3

   Розкриємо квадрат лівої сторони: x^2 + 2x + 1 = x + 3

   Віднімемо x та 3 з обох боків: x^2 + x - 2 = 0

   Застосуємо квадратне рівняння, щоб знайти значення x: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a Де a = 1, b = 1, c = -2.

   x = (-1 ± √(1^2 - 41(-2))) / (2*1) x = (-1 ± √(1 + 8)) / 2 x = (-1 ± √9) / 2 x = (-1 ± 3) / 2

   Отримаємо два значення для x: x₁ = 1 та x₂ = -2.

2. Зараз знайдемо відповідні значення y для цих точок, підставляючи їх у рівняння обох функцій:

   Для x₁ = 1: y = (1 + 1)^2 = 4 y = 1 + 3 = 4

   Для x₂ = -2: y = (-2 + 1)^2 = 1 y = -2 + 3 = 1

3. Тепер інтегруємо різницю між цими функціями від x = -2 до x = 1, щоб знайти площу фігури:

   Площа = ∫[x₁, x₂] [(x + 1)^2 - (x + 3)] dx Площа = ∫[-2, 1] [x^2 + 2x + 1 - x - 3] dx Площа = ∫[-2, 1] [x^2 + x - 2] dx

4. Здійснюємо інтегрування: Площа = (x^3 / 3 + x^2 / 2 - 2x) |[-2, 1] Площа = [(1^3 / 3 + 1^2 / 2 - 21) - (-2^3 / 3 + 2^2 / 2 - 2(-2))] Площа = [(1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 + 2 - 4)] Площа = [(1/3 + 3/6 - 12/6) - (-8/3 + 2 - 4)] Площа = [-10/6 - (-10/3)] Площа = [-10/6 + 10/3] Площа = -10/6 + 20/6 Площа = 10/6

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = (x + 1)^2 та y = x + 3, дорівнює 10/6 або 5/3.