Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения (однородные) 2xy'=2y+xtg(2y/x)

Answer 1

$2xy' = 2y + x \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x} \ \ \ | : 2x \neq 0$

$y' = \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x}$

Пусть $f(x,y) = \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x}$

Тогда $f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{\lambda y}{\lambda x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2\lambda y}{\lambda x} = \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2y}{x} = \lambda^{0}f(x,y)$

Имеем однородную функцию нулевого измерения относительно переменных $x$ и $y$

Подстановка: $y = ux, \ y' = u'x + u,$ где $u = u(x)$

Имеем:

$u'x + u = \dfrac{ux}{x} + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, \dfrac{2ux}{x}$

$u'x + u = u + \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, 2u$

$\dfrac{du}{dx} \cdot x = \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, 2u \ \ \ |: x \neq 0$

$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{\text{tg} \, 2u}{2 x} \ \ \ | \cdot dx$

$du = \dfrac{\text{tg} \, 2u}{2x} \, dx \ \ \ \Big| \cdot \dfrac{2}{\text{tg} \, 2u}$

$\dfrac{2\,du}{\text{tg} \, 2u} = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{2\,du}{\text{tg} \, 2u} = \int \dfrac{dx}{x}$

$(1) \ \displaystyle \int \dfrac{2\, du}{\text{tg} \, 2u} = \int \dfrac{2\cos 2u}{\sin 2u} \, du = \left|\begin{array}{ccc}\sin 2u = t\\2\cos 2u \, du = dt\\\end{array}\right| = \int \dfrac{dt}{t} =$

$= \ln |t| + C_{1} = \ln |\sin 2u| + C_{1}$

$(2) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C_{2}$

$\ln |\sin 2u| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}$

$\ln |\sin 2u| = \ln |x| + \ln|C|$

$\ln |\sin 2u| = \ln |Cx|$

$\sin 2u = Cx$

Обратная подстановка:

$\sin \dfrac{2y}{x} = Cx$ — общий интеграл

$y = \dfrac{x}{2} \arcsin (Cx)$ — общее решение

Ответ: $y = \dfrac{x}{2} \arcsin (Cx)$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения мы можем воспользоваться методом разделяющихся переменных. Сначала перепишем уравнение в следующем виде:

2xy' = 2y + x * tg(2y/x)

Разделим обе стороны на 2y и домножим на dx:

(1/y) * y' dx = (1 + x * tg(2y/x)) * dx

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

∫(1/y) * y' dx = ∫(1 + x * tg(2y/x)) * dx

Левая сторона интеграла:

∫(1/y) * y' dx = ∫dy/y = ln|y| + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Правая сторона интеграла:

∫(1 + x * tg(2y/x)) * dx = ∫dx + ∫x * tg(2y/x) * dx

Первый интеграл просто равен x + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Для интеграла ∫x * tg(2y/x) * dx мы можем сделать замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть u = 2y/x, тогда y = u * x / 2, и y' = (u' * x + u) / 2. Подставляя это в исходное уравнение, получим:

2x * ((u' * x + u) / 2) = 2(u * x / 2) + x * tg(u)

x^2 * (u' * x + u) = x^2 * u + x^2 * tg(u)

x^2 * u' * x + x^2 * u = x^2 * u + x^2 * tg(u)

x^3 * u' = x^2 * tg(u)

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение относительно u:

u' = tg(u)

Это уравнение можно решить методом разделения переменных:

∫(1/tg(u)) du = ∫1 du

-ln|sin(u)| = u + C3, где C3 - постоянная интегрирования.

Возвращаясь к переменной y и используя u = 2y/x:

-ln|sin(2y/x)| = 2y/x + C3

Выразим y:

ln|sin(2y/x)| = -2y/x - C3

|sin(2y/x)| = e^(-2y/x - C3)

sin(2y/x) = ±e^(-2y/x - C3)

Теперь мы можем вернуться к начальному выражению и решить уравнение относительно y. Помните, что у нас есть два возможных значения для знака:

2xy' = 2y + x * tg(2y/x)

2xy' = 2y + x * (sin(2y/x) / cos(2y/x))

y' = (y + (x/2) * (sin(2y/x) / cos(2y/x))) / x

Это дифференциальное уравнение можно решить численно или графически, так как оно не имеет аналитического решения в виде элементарных функций.