Question

2. Найдите производные функций: а) y=xcos(x)y=xcos(x); б) y=xtg(x)y=xtg(x); в) y=(4x−6)5y=(4x−6)5.

Answer 1

Ответ:

$a)y=x*cosx\\y'=cosx-x*sinx\\\\b) y=x*tgx\\y'=tgx+\frac{x}{cos^2x}\\ \\c)y=(4x-6)^5\\y'=5(4x-6)^4*4=20(4x-6)^4$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций:

а) $y = x \cos(x)$

Используем правило производной произведения функций (производная первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй):

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \cdot \cos(x)) = x \frac{d}{dx} (\cos(x)) + \cos(x) \frac{d}{dx} (x)$$

Производная $\frac{d}{dx} (\cos(x))$ равна $-\sin(x)$, а производная $\frac{d}{dx} (x)$ равна 1. Подставляя значения:

$$\frac{dy}{dx} = x (-\sin(x)) + \cos(x) \cdot 1 = -x \sin(x) + \cos(x)$$

б) $y = x \tan(x)$

Тангенс это $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Теперь можем использовать правило деления производных (производная частного функций равна частному производных):

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \cdot \tan(x)) = x \frac{d}{dx} (\tan(x)) + \tan(x) \frac{d}{dx} (x)$$

Производная $\frac{d}{dx} (\tan(x))$ может быть найдена с использованием правила дифференцирования частного и производных синуса и косинуса:

$$\frac{d}{dx} (\tan(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$

Таким образом:

$$\frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} + \tan(x) \cdot 1 = \frac{x}{\cos^2(x)} + \tan(x)$$

в) $y = (4x - 6)^5$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом степенной функции (производная степенной функции $u^n$ равна $n \cdot u^{n-1}$, где $u$ - функция от $x$):

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ((4x - 6)^5) = 5 \cdot (4x - 6)^{5-1} \cdot \frac{d}{dx} (4x - 6)$$

Производная $\frac{d}{dx} (4x - 6)$ равна просто 4. Подставляем значения:

$$\frac{dy}{dx} = 5 \cdot (4x - 6)^4 \cdot 4 = 20 \cdot (4x - 6)^4$$