Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x2-x4+3 на отрезке [-2;0]

Answer 1

Ответ:

yнаим.= -5

yнаиб.=4

Пошаговое объяснение:

y=f(x)=2x²-x⁴+3

f'(x)=4x-4x³

4x-4x³=0

4x(1-x²)=0

x₁=0

(1-x)(1+x)=0

x₂= -1

x₃=1

f(-2)=2*(-2)²-(-2)⁴+3=8-16+3= -5

f(-1)=2*(-1)²-(-1)⁴+3=2-1+3=4

f(0)=2*0²-0⁴+3=3

yнаим.= -5

yнаиб.=4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = 2x^2 - x^4 + 3 на отрезке [-2; 0], мы должны проанализировать экстремумы функции в данном интервале.

Сначала найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. Вычислим первую производную функции:

y' = d/dx(2x^2 - x^4 + 3) = 4x - 4x^3.

Затем приравняем ее к нулю и решим уравнение:

4x - 4x^3 = 0.

Факторизуя это уравнение, получим:

4x(1 - x^2) = 0.

Это уравнение имеет три корня: x = 0 и x = ±1.

Теперь проанализируем значения функции в найденных критических точках и на концах интервала:

1. Для x = -2: y = 2(-2)^2 - (-2)^4 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5.

2. Для x = 0: y = 2(0)^2 - (0)^4 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3.

3. Для x = 1: y = 2(1)^2 - (1)^4 + 3 = 2 - 1 + 3 = 4.

Таким образом, наибольшее значение функции равно 4 и достигается при x = 1, а наименьшее значение функции равно -5 и достигается при x = -2.