Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции: 1) y= x2 - 3x + 5 + |1-x|на отрезке [0;4]2) y= x4 - 3x3 + 2x2 - 9x + 1на отрезке [2;5]3) y= x2 - 6x + 8 + |x - 2|на отрезке [-1;5]4) y=6x5−90x3−5на отрезке [−5;1]​

Answer 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

1) y= x2 - 3x + 5 + |1-x|

на отрезке [0;4]

2) y= x4 - 3x3 + 2x2 - 9x + 1

на отрезке [2;5]

3) y= x2 - 6x + 8 + |x - 2|

на отрезке [-1;5]

4) y=6x5−90x3−5

на отрезке [−5;1]

Answer 2

Давайте найдем наибольшие и наименьшие значения указанных функций на заданных отрезках:

1. y = x^2 - 3x + 5 + |1 - x| на отрезке [0;4]

Находим производные функции y: y' = 2x - 3 + (-1) = 2x - 4, когда x < 1 y' = 2x - 3 + 1 = 2x - 2, когда x > 1

Находим критические точки, где производная равна нулю: 2x - 4 = 0 => 2x = 4 => x = 2, x < 1 2x - 2 = 0 => 2x = 2 => x = 1, x > 1

Теперь определим значения функции на концах отрезка [0;4] и найденных критических точках:

y(0) = 0^2 - 30 + 5 + |1 - 0| = 5 y(1) = 1^2 - 31 + 5 + |1 - 1| = 2 y(2) = 2^2 - 32 + 5 + |1 - 2| = 1 y(4) = 4^2 - 34 + 5 + |1 - 4| = 13

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0;4] равно 13 (достигается при x = 4), а наименьшее значение равно 1 (достигается при x = 2).

2. y = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 9x + 1 на отрезке [2;5]

Для этой функции также найдем производную: y' = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 9

Ищем критические точки, где производная равна нулю: 4x^3 - 9x^2 + 4x - 9 = 0

Для нахождения точных корней этого уравнения потребуется численное решение, например, с помощью метода Ньютона. Однако, мы можем оценить значения функции на концах отрезка [2;5]:

y(2) = 2^4 - 32^3 + 22^2 - 92 + 1 = 16 - 24 + 8 - 18 + 1 = -17 y(5) = 5^4 - 35^3 + 25^2 - 95 + 1 = 625 - 375 + 250 - 45 + 1 = 456

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [2;5] равно -17 (достигается при x = 2), а наибольшее значение равно 456 (достигается при x = 5).

3. y = x^2 - 6x + 8 + |x - 2| на отрезке [-1;5]

Для этой функции также найдем производную: y' = 2x - 6 + (-1) = 2x - 7, когда x < 2 y' = 2x - 6 + 1 = 2x - 5, когда x > 2

Находим критические точки: 2x - 7 = 0 => 2x = 7 => x = 7/2, x < 2 2x - 5 = 0 => 2x = 5 => x = 5/2, x > 2

Теперь определим значения функции на концах отрезка [-1;5] и найденных критических точках:

y(-1) = (-1)^2 - 6*(-1) + 8 + |(-1) - 2| = 1 + 6 + 8 + 3 = 18 y(5) = 5^2 - 65 + 8 + |5 - 2| = 25 - 30 + 8 + 3 = 6 y(7/2) = (7/2)^2 - 6(7/2) + 8 + |7/2 - 2| = 49/4 - 21/2 + 8 + 3/2 = 5/4

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1;5] равно 18 (достигается при x = -1), а наименьшее значение равно 5/4 (достигается при x = 7/2).

4. y = 6x^5 - 90x^3 - 5 на отрезке [-5;1]

Для этой функции также найдем производную: y' = 30x^4 - 270x^2

Находим критические точки: 30x^4 - 270x^2 = 0

Вынесем общий множитель 30x^2: 30x^2(x^2 - 9) = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = ±3.

Теперь определим значения функции на концах отрезка [-5;1] и найденных критических точках:

y(-5) = 6*(-5)^5 - 90*(-5)^3 - 5 = -7500 y(1) = 61^5 - 901^3 - 5 = -89 y(0) = 60^5 - 900^3 - 5 = -5 y(3) = 63^5 - 903^3 - 5 = 424

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-5;1] равно 424 (достигается при x = 3), а наименьшее значение равно -