Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 4x + 3 и y = 3 – x .

Answer 1

Ответ: 20 5/6

Пошаговое объяснение:

найдем пределы интегрирования, приравняв уравнения,

x^2+4x+3=3-x,  x^2+5x=0,  x(x+5)=0,  x=-5,  x=0

(Интеграл обозначу U)

S=U(-5;0) (3-x-x^2-4x-3)dx=U(-5;0) (-x^2-5x)dx=

(-x^3/3-5x^2/2)!(-5;0)=0+(-125/3+125/2)=-250/6+375/6=125/6=20 5/6

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл площади между ними. Сначала найдем точки пересечения:

Приравняем выражения для y и решим уравнение: x^2 + 4x + 3 = 3 - x

Переносим все члены уравнения на одну сторону: x^2 + 5x = 0

Факторизуем: x(x + 5) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = -5.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого из x:

Для x = 0: y = 3 - x = 3

Для x = -5: y = 3 - x = 3 + 5 = 8

Таким образом, точки пересечения кривых - это (0, 3) и (-5, 8).

Далее, для вычисления площади между кривыми, нужно найти интеграл разности верхней и нижней функций по переменной x на интервале от -5 до 0:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx = ∫[-5, 0] ((3 - x) - (x^2 + 4x + 3)) dx = ∫[-5, 0] (-x^2 - 5x) dx

Вычислим этот интеграл: ∫(-x^2 - 5x) dx = -[x^3/3 + 5x^2/2] from -5 to 0 = -[0 - (125/3 + 125/2)] = -[-250/6] = 125/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 4x + 3 и y = 3 - x, составляет 125/6 единиц площади.