Question

Найти точки экстремума функции: f(x)=x^3/3-16x+2/3

Answer 1

у(х)=х³/3 - 16х + 2/3

у'(х)=1/3 * 3 * х² - 16

х²-16=0

(х-4)(х+4)=0

Точки экстремума х=4; х=-4.   Это ответ.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции, нам нужно найти её производные и решить уравнение производной равной нулю. Давайте начнем с вычисления производной функции f(x):

f(x) = x^3/3 - 16x + 2/3

Производная функции f(x) по x:

f'(x) = d/dx [x^3/3 - 16x + 2/3] = x^2 - 16

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

x^2 - 16 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить факторизацией:

(x - 4)(x + 4) = 0

Отсюда получаем два значения x:

1. x - 4 = 0 => x = 4
2. x + 4 = 0 => x = -4

Теперь, чтобы определить характер экстремума (минимум или максимум) в найденных точках, нужно проанализировать знак второй производной (f''(x)) в этих точках. Для этого найдем вторую производную функции:

f''(x) = d^2/dx^2 [x^2 - 16] = 2x

Теперь подставим найденные значения x = 4 и x = -4 во вторую производную:

1. Для x = 4: f''(4) = 2 * 4 = 8 (положительное значение)
2. Для x = -4: f''(-4) = 2 * (-4) = -8 (отрицательное значение)

Положительное значение второй производной указывает на то, что функция имеет локальный минимум в точке x = 4, а отрицательное значение второй производной указывает на то, что функция имеет локальный максимум в точке x = -4.

Итак, точки экстремума функции f(x) = x^3/3 - 16x + 2/3:

1. Локальный минимум: (4, f(4)) = (4, -42/3) = (4, -14)
2. Локальный максимум: (-4, f(-4)) = (-4, 62/3) = (-4, 20.67)