Question

Для функции у = 1 / √x + x2 + x3 найдите первообразную, график которой проходит через точку М(1;3)

Answer 1

Ответ:

1x 2xfasde uo8 ferda2y

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + x^2 + x^3$, которая проходит через точку $M(1;3)$, нам нужно найти выражение для этой первообразной. Процедура интегрирования заключается в нахождении функции, производная которой равна данной функции.

Сначала найдем первообразную для каждого из слагаемых:

1. Интегрируем $\frac{1}{\sqrt{x}}$: $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x} + C_1$

2. Интегрируем $x^2$: $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_2$

3. Интегрируем $x^3$: $\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_3$

Теперь объединим найденные интегралы и добавим постоянную интеграции $C$: $\int \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + x^2 + x^3 \right) \, dx = 2\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + C$

Мы получили общую первообразную для данной функции.

Чтобы найти значение постоянной интеграции $C$ так, чтобы график проходил через точку $M(1;3)$, подставим координаты этой точки в уравнение первообразной:

$2\sqrt{1} + \frac{1^3}{3} + \frac{1^4}{4} + C = 3$

$2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + C = 3$

$C = 3 - 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{4}{12} - \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{0}{12} = 0$

Таким образом, значение постоянной интеграции $C = 0$, и искомая первообразная, проходящая через точку $M(1;3)$, имеет вид:

$F(x) = 2\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}$

Пожалуйста, обратите внимание, что интегрирование и нахождение первообразной — это обратные процессы дифференцирования, и иногда может потребоваться проверка, чтобы убедиться в правильности результата.