Question

Найдите точку максимума функции y=x^3-192x+14

Answer 1

$y = {x}^{3} - 192x + 14 \\ \frac{dy}{dx} = 3 {x}^{2} - 192 \\ 3 {x}^{2} - 192 = 0 \\ 3 {x}^{2} = 192 \\ {x}^{2} = 64 \\ x = - 8 \\ x = 8$

Проверяем интервалы на знаки. Точка максимума является переходом от возрастания к убыванию.

(–∞ ; –8) - возрастает

(–8; 8) - убывает

(8; +∞) - возрастает

Ответ: точка максимума х = –8.

Answer 2

Для поиска точки максимума функции, мы сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем, используя тест на вторую производную, определим, является ли найденная точка максимумом.

Итак, данная функция: $y = x^3 - 192x + 14$.

1. Найдем производную функции $y$: $y' = 3x^2 - 192.$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение относительно $x$: $3x^2 - 192 = 0.$ $3x^2 = 192.$ $x^2 = 64.$ $x = \pm 8.$

3. Теперь нам нужно определить характер точек $-8$ и $8$, найденных как критические точки. Для этого проведем тест на вторую производную.

   Вторая производная функции $y$: $y'' = 6x.$

   Подставим найденные критические точки:

   • При $x = -8$: $y'' = 6 \cdot (-8) = -48$. Это отрицательное значение, что означает, что точка $x = -8$ представляет собой локальный максимум.
   • При $x = 8$: $y'' = 6 \cdot 8 = 48$. Это положительное значение, что означает, что точка $x = 8$ представляет собой локальный минимум.

Таким образом, точка максимума функции $y = x^3 - 192x + 14$ находится в $x = -8$. Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим $x = -8$ в исходную функцию:

$y = (-8)^3 - 192 \cdot (-8) + 14 = -512 + 1536 + 14 = 1038.$

Итак, точка максимума функции находится в $(-8, 1038)$.