Question

Найти наименьшее значение функции у=2х^3-9x^2+12x-3 на промежутке [0;3]

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=2х³-9x²+12x-3

f'(x)=6х²-18x+12

6х²-18x+12=0

x²-3x+2=0

x₁+x₂=3

x₁x₂=2

x₁=2

x₂=1

f(0)=2*0³-9*0²+12*0-3= -3

f(1)=2*1³-9*1²+12*1-3=2-9+12-3=2

f(2)=2*2³-9*2²+12*2-3=16-36+24-3=1

f(3)=2*3³-9*3²+12*3-3=54-81+36-3=6

y наим.= -3

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ на промежутке $[0;3]$, мы должны найти критические точки функции внутри этого интервала и сравнить значения функции в этих точках, а также на границах интервала.

Шаги:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = 6x^2 - 18x + 12.$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для нахождения критических точек: $6x^2 - 18x + 12 = 0.$

Для решения этого квадратного уравнения, поделим обе стороны на 6: $x^2 - 3x + 2 = 0.$

Факторизуем его: $(x - 1)(x - 2) = 0.$

Из этого получаем две критические точки: $x = 1$ и $x = 2$.

3. Теперь подставим найденные критические точки и граничные точки интервала в исходную функцию, чтобы найти значения функции $y$ в этих точках:

• При $x = 0$: $y = 2 \cdot 0^3 - 9 \cdot 0^2 + 12 \cdot 0 - 3 = -3.$
• При $x = 1$: $y = 2 \cdot 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 - 3 = 2 - 9 + 12 - 3 = 2.$
• При $x = 2$: $y = 2 \cdot 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 3 = 16 - 36 + 24 - 3 = 1.$
• При $x = 3$: $y = 2 \cdot 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 12 \cdot 3 - 3 = 54 - 81 + 36 - 3 = 6.$

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ на интервале $[0;3]$ равно -3 и достигается при $x = 0$.