Question

Сколько трехзначных чисел не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13?

Answer 1

Ответ: 252 числа

Пошаговое объяснение:

1. Заметим, что число 1001 = 7 * 11 * 13

2. Заметим, что наименьшее 3-х значное число,

a) которое делится на 7  это 105

Отсюда 3-х значных чисел , делящихся на 7  (1001-105)/7=128 чисел

b)которое делится на 11  это 110

Отсюда 3-х значных чисел , делящихся на 11  (1001-110)/11=81 число

c)которое делится на 13  это 104

Отсюда 3-х значных чисел , делящихся на 13  (1001-104)/13=69 чисел

Теперь найдем все числа которые делятся  на  

d) 7 и 11.   Наименьшее из таких чисел 7*11=77.

Тогда таких трехзначных чисел (1001-77)/77 -1 =  11 (вычел 1 , так как 77 -3-х значным числом не является)

е) 7 и 13  Наименьшее из таких чисел 7*13=91.

Тогда таких трехзначных чисел (1001-91)/91 -1 =  9 (вычел 1 , так как 91 -3-х значным числом не является)

f)  11 и 13 Наименьшее из таких чисел 11*13=143.

Тогда таких трехзначных чисел (1001-143)/143  =  6

Заметим, что нет ни одного числа меньше 1001 которое бы одновременно делилось на 7 ,11 и 13.

Тогда искомое количество чисел  а)+b)+c)-d)-e)-f)=278-26=252

Answer 2

Чтобы найти количество трехзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 11, ни на 13, можно воспользоваться принципом включений-исключений.

Всего трехзначных чисел, начинающихся с 1, 2 или 3, - 300. Чисел, делящихся на 7: 100, 112, ..., 994 - всего 10 чисел. Чисел, делящихся на 11: 110, 121, ..., 990 - всего 9 чисел. Чисел, делящихся на 13: 104, 117, ..., 988 - всего 7 чисел.

Чисел, делящихся одновременно на 7 и 11, на 7 и 13, на 11 и 13: 77, 154, 231 - всего 3 числа.

Итак, применяя принцип включений-исключений, общее количество трехзначных чисел, не делящихся ни на 7, ни на 11, ни на 13:

300 - (10 + 9 + 7 - 3) = 300 - 23 + 3 = 280.

Итак, количество трехзначных чисел, не делящихся ни на 7, ни на 11, ни на 13, равно 280.