Question

СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА. СПАСИБО 7) Найти промежутки монотонности функции y = x^3 – 2x^2 – 3

Answer 1

ПОЯСНЕННЯ:

f(x) = y = х³ - 2х² - 3

щоб дослідити функцію на монотонність, слід:

1)знайти її похідну f`(x);

2)знайти критичні точки функції (f`(x) = 0 або f`(x) не існує);

3)визначити знак похідної на кожному з проміжків, на які критичні точки розбивають область визначення функції;

4)визначити проміжки зростання та спадання функції.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ:

y = х³ - 2х² - 3

1)y`= (x³)` - (2x²)` - (3)` = 3x² - 4x = х(3х-4)

пункти 2 та 3 можемо пропустити оскільки ОДЗ: х∈R

4) функція f(x) зростає, якщо f`(x)>0

х(3х-4)>0

х∈(-∞;0)∪(4/3;+∞)

функція f(x) спадає, якщо f`(x)<0

х(3х-4)<0

х∈(0;4/3)

ВІДПОВІДЬ:

у↑ при х∈(-∞;0)∪(4/3;+∞);

у↓ при х∈(0;4/3).

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции, необходимо выяснить, где производная функции положительна (функция возрастает) или отрицательна (функция убывает). Для функции $y = x^3 - 2x^2 - 3$ найдем ее производную и проанализируем ее знаки.

$y = x^3 - 2x^2 - 3$

Возьмем производную:

$y' = 3x^2 - 4x$

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$:

1. $x = 0$
2. $3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$

Теперь мы можем выбрать тестовые точки в каждом из трех интервалов, образованных этими значениями $x$:

1. $(-\infty, \frac{4}{3})$
2. $(\frac{4}{3}, 0)$
3. $(0, +\infty)$

Выберем по одной точке из каждого интервала и подставим их в производную $y'$ для определения знака производной на каждом интервале:

1. При $x = 1$: $y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 = -1$ (отрицательная производная, функция убывает)

2. При $x = \frac{5}{3}$: $y'\left(\frac{5}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 4 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3} - \frac{20}{3} = \frac{5}{3}$ (положительная производная, функция возрастает)

3. При $x = -1$: $y'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) = 7$ (положительная производная, функция возрастает)

Итак, по результатам анализа производной, можно сделать вывод о промежутках монотонности функции $y = x^3 - 2x^2 - 3$:

1. Функция убывает на интервале $(-\infty, \frac{4}{3})$.
2. Функция возрастает на интервале $(\frac{4}{3}, 0)$.
3. Функция возрастает на интервале $(0, +\infty)$.

Итак, это и есть промежутки монотонности данной функции.