Question

Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x)=e²ˣ+sinx/3+2, которая принимает отрицательное значение при x=0

Answer 1

$f(x) = e^{2x} +\frac{sin(x)}{3} +2\\\int\limits( {e^{2x} +\frac{sin(x)}{3} +2} )\, dx =\frac{1}{2} e^{2x} -\frac{1}{3}cos(x)+2x+C\\F(0)$

Какая-нибудь первообразная функции f(x), которая принимает отрицательное значение при х=0 :

$\frac{1}{2} e^{2x}-\frac{1}{3}cos(x)+2x-1$

Answer 2

Давайте найдем первообразную функции $f(x) = e^{2x} + \frac{\sin x}{3} + 2$.

Сначала найдем первообразную для каждого из трех слагаемых отдельно:

1. Первое слагаемое $e^{2x}$ имеет первообразную $\frac{1}{2} e^{2x}$.
2. Второе слагаемое $\frac{\sin x}{3}$ имеет первообразную $-\frac{1}{3} \cos x$.
3. Третье слагаемое $2$ имеет первообразную $2x$.

Теперь сложим все три первообразные:

$$\frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{3} \cos x + 2x + C,$$

где $C$ — произвольная постоянная.

Теперь у нас есть первообразная функции $f(x)$, которая принимает отрицательное значение при $x = 0$. Давайте подставим $x = 0$:

$$\frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} - \frac{1}{3} \cos 0 + 2 \cdot 0 + C = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 + C = \frac{1}{6} + C.$$

Чтобы значение было отрицательным, можно выбрать $C$ так, чтобы $\frac{1}{6} + C$ было меньше нуля. Например, если выбрать $C = -\frac{1}{6}$, то значение первообразной при $x = 0$ будет:

$$\frac{1}{6} - \frac{1}{6} = 0.$$

Таким образом, если выбрать $C = -\frac{1}{6}$, то первообразная функции $f(x)$, удовлетворяющая условию, будет:

$$\frac{1}{2} e^{2x} - \frac{1}{3} \cos x + 2x - \frac{1}{6}.$$