Question

Найдите все значения k, при которых один корень уравнения x^2-(k+1)x +k^2 +k-8=0 меньше 1, а другой больше 2.

Answer 1

Решение задания приложено.

Answer 2

Ответ: (-2; 2sqr2)

Пошаговое объяснение:

f(1)=1-k-1+k^2+k-8=k^2-8<0 <=> -2sqrt2<k<2sqr2

f(2)=4-2k-2+k^2+k-8=k^2-k-6<0 <=> -2<k<3

Пересекаем: -2<k<2sqrt2

Answer 3

Для данного уравнения x^2 - (k+1)x + k^2 + k - 8 = 0, нам нужно найти значения параметра k, при которых уравнение имеет два корня: один меньше 1, а другой больше 2.

У нас есть квадратное уравнение общего вида ax^2 + bx + c = 0, где в данном случае: a = 1 b = -(k+1) c = k^2 + k - 8

Используя дискриминант D = b^2 - 4ac, мы можем определить условия для корней:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень кратности 2.
3. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня.

В данном случае нам нужно, чтобы один корень был меньше 1, а другой больше 2. Это означает, что корни уравнения не могут быть одинаковыми, так как тогда они оба были бы либо меньше 1, либо больше 2. Таким образом, нам нужно рассмотреть случай D > 0.

Подставим наши значения в формулу дискриминанта: D = (-k-1)^2 - 4 * 1 * (k^2 + k - 8) D = k^2 + 2k + 1 - 4k^2 - 4k + 32 D = -3k^2 - 2k + 33

Теперь нам нужно найти значения k, при которых D > 0, чтобы у нас было два различных вещественных корня.

-3k^2 - 2k + 33 > 0

Сначала решим квадратное неравенство:

-3k^2 - 2k + 33 = 0 Для этого можно использовать квадратное уравнение и найти его корни. Корни данного уравнения будут значениями k, которые разбивают числовую ось на интервалы, в которых выполняется неравенство.

Решив это квадратное уравнение, мы найдем два значения k:

k = -3 и k = 3.

Теперь мы имеем два интервала: k < -3 и -3 < k < 3. Мы можем выбрать по одному значению из каждого интервала и проверить, выполняется ли неравенство -3k^2 - 2k + 33 > 0.

При k = -4: -3*(-4)^2 - 2*(-4) + 33 = -48 + 8 + 33 = -7, что не удовлетворяет условию D > 0.

При k = 2: -32^2 - 22 + 33 = -12 - 4 + 33 = 17, что удовлетворяет условию D > 0.

Итак, для того чтобы уравнение имело один корень меньше 1 и один корень больше 2, значение параметра k должно быть k = 2.

Итак, решение: k = 2.