Question

Теория вероятности В классе 15 человек. На входе в школу имеются два гардероба. Школьники равновероятно раздеваются либо в одном, либо в другом. Найдите вероятность того, что в правом гардеробе школьники этого класса заняли вдвое больше мест, чем в левом. Запишите ответ в виде обыкновенной несократимой дроби а/b.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3003}{32768}$

Пошаговое объяснение:

Пусть в каждом гардеробе было по 15 мест, представим гардероб как последовательность нулей и единиц: 0 — школьник разделся в другом гардеробе, 1 — школьник разделся в этом гардеробе. Тогда ситуация выглядит примерно так:

I:  110010100011101

II: 001101011100010

Если в первом гардеробе задана некоторая последовательность, то она однозначно задаёт последовательность второго гардероба. На каждой позиции первого гардероба может быть либо 0, либо 1, поэтому, учитывая однозначность, всего возможных ситуаций 2¹⁵ = 32768.

Если в правом гардеробе занято вдвое мест, чем в левом, то есть вдвое больше единиц, чем в левом (10 в правом, 5 в левом), то искомое количество подходящих ситуаций — число способов расставить 10 единиц в правом гардеробе.

$C^{10}_{15}=C^5_{15}=\dfrac{15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=3003$

Искомая вероятность равна $\dfrac{3003}{32768}$.

Answer 2

Пусть $X$ - количество школьников, выбравших правый гардероб, а $Y$ - количество школьников, выбравших левый гардероб. Тогда $X$ и $Y$ - независимые случайные величины, каждая из которых может принимать значения от 0 до 15 включительно.

Мы хотим найти вероятность того, что в правом гардеробе будет вдвое больше мест, чем в левом, то есть $X = 2Y$.

Поскольку каждый школьник равновероятно выбирает один из двух гардеробов, вероятность того, что определенное количество школьников выберет один гардероб, а остальные - другой, можно выразить с помощью биномиального распределения.

Вероятность того, что $k$ школьников выберут правый гардероб, а $15 - k$ выберут левый гардероб, равна:

$P(X = k) = \binom{15}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{15}$

Теперь нам нужно найти вероятность того, что $X = 2Y$:

$P(X = 2Y) = P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 4) + \ldots + P(X = 14)$

Суммируем вероятности для всех четных $k$ от 0 до 14:

$P(X = 2Y) = \sum_{k=0}^{7} P(X = 2k)$

Вычислим это:

$P(X = 2Y) = \sum_{k=0}^{7} \binom{15}{2k} \left( \frac{1}{2} \right)^{15}$

Вычисления могут быть довольно громоздкими, но результат будет дробью $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ - целые числа. Поскольку вы хотите ответ в виде несократимой дроби, я рекомендую использовать математическое программное обеспечение или калькулятор, который может выполнить вычисления с биномиальными коэффициентами и суммой.

Итак, вероятность в данном случае будет представлена в виде дроби $\frac{a}{b}$.