Question

На доске были записаны четыре целых числа. Сложив их всевозможными различными способами по два, Петя получил шесть сумм, пять из которых 16, 18, 20, 21, 24. Докажите, что Петя ошибся при вычислении сумм.​

Answer 1

Так как среди сумм есть нечётное число 21, на доске обязательно были выписаны хотя бы одно чётное и хотя бы одно нечётное (обозначим их соответственно Ч и Н). Так как известны только пять сумм из шести, причём среди них ровно одна нечётная, всего нечётных сумм не более двух.

Рассмотрим все возможные варианты чётности оставшихся двух чисел:

1. На доске были записаны числа Н Ч Ч Ч. Но тогда должно было быть записано три нечётные суммы (Н с каждым Ч), что невозможно.

2. На доске были записаны числа Н Ч Н Ч. Но тогда должно было быть записано четыре нечётные суммы (I + II, I + IV, II + III, III + IV), что невозможно.

3. На доске были записаны числа Н Ч Н Н. Но тогда должно было быть записано три нечётные суммы (Ч с каждым Н), что невозможно.

Все рассмотренные варианты оказались невозможными, значит, Петя ошибся при вычислении.

Answer 2

Давайте предположим, что Петя не ошибся при вычислении сумм. Это означает, что у нас есть четыре числа: A, B, C и D, и Петя правильно посчитал все шесть сумм, а именно:

1. A + B = 16
2. A + C = 18
3. A + D = 20
4. B + C = 21
5. B + D = 24
6. C + D = ?

Давайте рассмотрим суммы (A + B), (A + C) и (B + C). Вычитая уравнение (1) из уравнения (2), получаем:

(A + C) - (A + B) = C - B = 18 - 16 = 2.

Таким образом, мы имеем, что C - B = 2. Теперь вычитая уравнение (4) из уравнения (5), получаем:

(B + D) - (B + C) = D - C = 24 - 21 = 3.

Значит, D - C = 3. Но тогда мы имеем два противоречащих уравнения: C - B = 2 и D - C = 3. Это невозможно, так как D - C должно быть больше или равно C - B, но здесь получается обратное.

Это противоречие говорит нам о том, что исходное предположение о том, что Петя не ошибся при вычислениях, неверно. Следовательно, Петя действительно ошибся в вычислениях сумм, и приведенные им значения 16, 18, 20, 21, 24 невозможно получить, складывая четыре целых числа.