Question

Сумма частных производных функции z = x^y в точке (1;2) равна

Answer 1

$z = x^y$

Найдем частные производные:

$z'_x = (x^y)'_x=yx^{y-1}$

$z'_y = (x^y)'_y=x^y\ln x$

Найдем значения частных производных в точке:

$z'_x(1;\ 2)=2\cdot1^{2-1}=2\cdot1=2$

$z'_y(1;\ 2)=1^2\cdot\ln 1=1\cdot0=0$

Найдем требуемую сумму:

$z'_x(1;\ 2)+z'_y(1;\ 2)=2+0=2$

Ответ: 2

Answer 2

Давайте найдем частные производные функции $z = x^y$ по переменным $x$ и $y$:

Частная производная по $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot x^{y-1}$

Частная производная по $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \cdot \ln(x)$

Теперь подставим координаты точки $(1; 2)$ и вычислим значения частных производных:

$\frac{\partial z}{\partial x}$ в точке $(1; 2)$: $= 2 \cdot 1^{2-1} = 2$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ в точке $(1; 2)$: $= 1^2 \cdot \ln(1) = 0$

Сумма частных производных в точке $(1; 2)$: $2 + 0 = 2$

Итак, сумма частных производных функции $z = x^y$ в точке $(1; 2)$ равна $2$.