Question

3. Докажите, что (sinx)'=cosx

Answer 1

Ответ:

Составим отношение:

A=(sin(x+d)-sin x)/d=2sin(d/2)*cos(x+d/2)/d,

пусть d --> 0, тогда:

lim cos(x+d/2)=cos x, lim sin(d/2)/(d/2)=1.

Таким образом, (sin x)'=lim A=cos x.

Answer 2

Для доказательства того, что производная функции $\sin(x)$ равна $\cos(x)$, мы можем воспользоваться определением производной и тригонометрическими тождествами.

Определение производной $f'(x)$ функции $f(x)$ в точке $x$ гласит:

$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

В данном случае $f(x) = \sin(x)$, поэтому нам нужно вычислить предел:

$\lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h}$

Используем тригонометрическое тождество $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$:

$\frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h} = \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}$

Разделим числитель на $\cos(h)$ и затем поделим и числитель, и знаменатель на $h$:

$\frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h\cos(h)} = \frac{\sin(x)(\cos(h) - 1)}{h\cos(h)} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h\cos(h)}$

Теперь, когда $h \to 0$, мы можем использовать предел $\lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(h)}{h} = 1$ и предел $\lim_{{h \to 0}} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0$:

$\lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x)(\cos(h) - 1)}{h\cos(h)} + \lim_{{h \to 0}} \frac{\cos(x)\sin(h)}{h\cos(h)} = 0 + \frac{\cos(x) \cdot 1}{1 \cdot \cos(0)}$

Таким образом, получаем:

$\lim_{{h \to 0}} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h} = \cos(x)$

Таким образом, $\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$, что и требовалось доказать.