Question

Найти производную функции f(x)= ln(x)/x^2 в точке x=1

Answer 1

Ответ: f'(1)=1.

Пошаговое объяснение:

f'(x)=[x-2*x*ln(x)]/x^4; f'(1)=[1-2*1*ln(1)]/1^4=1.

Answer 2

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

$f(x)= \frac{lnx}{x^2} \\\\f'(x)=(\frac{lnx}{x^2} )'=\frac{(lnx)'x^2-lnx*(x^2)'}{(x^2)^2} =\frac{\frac{1}{x}*x^2-2xlnx }{x^4} =\\\\=\frac{x-2xlnx}{x^4} =\frac{x(1-xlnx)}{x^4} =\frac{1-xlnx}{x^3}$

$f'(1)=\frac{1-1*ln1}{1^3} =\frac{1-0}{1} =\frac{1}{1} =1\\\\f'(1)=1$

Answer 3

Для нахождения производной функции f(x) = ln(x) / x^2 в точке x = 1, мы можем использовать правило дифференцирования частного и правило дифференцирования натурального логарифма.

Первое, давайте запишем функцию в более удобной форме: f(x) = ln(x) * x^(-2)

Теперь применим правило дифференцирования частного: f'(x) = (ln(x) * (x^(-2))' - ln(x)' * x^(-2)) / (x^(-2))^2

Дифференцируем каждую часть выражения: (ln(x) * (x^(-2))' = ln(x) * (-2x^(-3)) = -2 * ln(x) / x^3 ln(x)' = 1 / x^1 = 1 / x x^(-2)' = -2x^(-3) = -2 / x^3

Подставляем полученные значения в формулу для производной: f'(x) = (-2 * ln(x) / x^3 - 1 / x * x^(-2)) / (x^(-2))^2

Упрощаем выражение: f'(x) = (-2 * ln(x) / x^3 - 1 / x^3) / (1 / x^4) = -2 * ln(x) / x^3 - x^4

Теперь подставим x = 1, чтобы найти производную в точке x = 1: f'(1) = -2 * ln(1) / 1^3 - 1^4 = -2 * 0 / 1 - 1 = -1

Таким образом, производная функции f(x) = ln(x) / x^2 в точке x = 1 равна -1.