Question

Т31) Найдите область значений функции y=4cos^3(2x) +sin^2(2x) Заранее спасибо!​

Answer 1

$y=4\cos^32x+\sin^22x=4\cos^32x-\cos^22x+1$

Пусть $\cos 2x=t$. Исследуем на наибольшее и наименьшее значение функции

$y(t)=4t^3-t^2+1,~~ t\in [-1;1].$

$y'(t)=(4t^3-t^2+1)'=12t^2-2t=0$

$2t(6t-1)=0\\ t_1=0; t_2=\frac{1}{6}$

Найдём наибольшее и наименьшее значение на концах отрезка

$y(-1)=4\cdot (-1)^3-(-1)^2+1=-4~~~-\min\\ y(0)=4\cdot 0^3-0^2+1=0\\ y(\frac{1}{6})=4\cdot (\frac{1}{6})^3-(\frac{1}{6})^2+1=\frac{107}{108}\\ y(1)=4\cdot 1^3-1^1+1=4~~~~-\max$

Область значений данной функции: $E(y)=[-4;4].$

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию y = 4cos^3(2x) + sin^2(2x) и найдем её область значений. Область значений функции - это множество всех возможных значений, которые функция может принимать.

Функция y = 4cos^3(2x) + sin^2(2x) состоит из двух частей: первая часть 4cos^3(2x) зависит от косинуса, а вторая часть sin^2(2x) зависит от синуса. Косинус может принимать значения от -1 до 1, а синус тоже может принимать значения от -1 до 1.

Давайте рассмотрим каждую часть функции по отдельности:

1. 4cos^3(2x): Косинус возведенный в нечетную степень также будет иметь значение от -1 до 1. Умножение на 4 не изменяет этот интервал.

2. sin^2(2x): Квадрат синуса всегда будет неотрицательным числом, то есть его значения находятся в интервале от 0 до 1.

Таким образом, сумма этих двух частей также будет иметь значения от 0 до 1.

Объединяя оба случая, мы видим, что область значений функции y = 4cos^3(2x) + sin^2(2x) лежит в интервале от 0 до 1.