Question

Точки А и Б движутся по окружности в одном направлении. Они движутся равномерно и встречаются каждые 9 секунд. Одна точка проходит круг на 12 секунд быстрее другой. Определить за сколько точки проходят круг.

Answer 1

Пусть весь путь равен 1, х и у- время А и Б соответственно для прохождения одного круга. у-х=12, тогда

у=х+12, путь делим на скорость сближения. которая равна разности скоростей (1/х)-(1/у), выходим на уравнение

1/((1/х)-(1/у))=9⇒ху/(у-х)=9; х(х+12)=9; х²+12х+108=0; По Виету х=, х=-18(не подходит, т.к. не может время  быть отрицательным.) Тогда у=12=6=18

Ответ одна точка проходит круг за 6сек., другая за 18сек.

Answer 2

Пусть точка А проходит круг за время T секунд, а точка Б проходит круг за время T + 12 секунд (так как одна точка проходит круг на 12 секунд быстрее другой).

Зная, что они встречаются каждые 9 секунд, можно составить уравнение:

Первая встреча: Расстояние = Скорость * Время Полный оборот окружности = Расстояние А + Расстояние Б 2 * π * R = V_A * T + V_B * T

Вторая встреча: Расстояние = Скорость * Время Полный оборот окружности = Расстояние А + Расстояние Б 2 * π * R = V_A * (T + 9) + V_B * (T + 9)

Теперь мы имеем систему уравнений с двумя уравнениями:

1. 2 * π * R = V_A * T + V_B * T
2. 2 * π * R = V_A * (T + 9) + V_B * (T + 9)

Выразим V_A и V_B из первого уравнения: V_A = (2 * π * R - V_B * T) / T V_B = (2 * π * R - V_A * T) / T

Подставим выражения для V_A и V_B во второе уравнение: 2 * π * R = [(2 * π * R - V_A * T) / T] * (T + 9) + [(2 * π * R - V_B * T) / T] * (T + 9)

Раскроем скобки и упростим уравнение: 2 * π * R = 2 * π * R + 18 * π - V_A * (T + 9) - V_B * (T + 9)

Сокращаем 2 * π * R с обеих сторон: 0 = 18 * π - V_A * (T + 9) - V_B * (T + 9)

Теперь подставим выражения для V_A и V_B из первого уравнения: 0 = 18 * π - [(2 * π * R - V_B * T) / T] * (T + 9) - [(2 * π * R - V_A * T) / T] * (T + 9)

Упростим выражение: 18 * π = (2 * π * R - V_B * T) * (T + 9) + (2 * π * R - V_A * T) * (T + 9)

Раскроем скобки и упростим дальше: 18 * π = 2 * π * R * T + 18 * π * R - V_B * T^2 - 9 * V_B * T + 2 * π * R * T + 18 * π * R - V_A * T^2 - 9 * V_A * T

Сократим 18 * π * R с обеих сторон: 0 = 4 * π * R * T - V_B * T^2 - 9 * V_B * T + 4 * π * R * T - V_A * T^2 - 9 * V_A * T

Сократим 4 * π * R * T с обеих сторон: 0 = - V_B * T^2 - 9 * V_B * T - V_A * T^2 - 9 * V_A * T

Сгруппируем члены с V_A и V_B: 0 = (- V_B * T^2 - V_A * T^2) + (- 9 * V_B * T - 9 * V_A * T)

Так как V_A и V_B независимы, то уравнения в скобках должны быть равными нулю:

• V_B * T^2 - V_A * T^2 = 0
• 9 * V_B * T - 9 * V_A * T = 0

Из первого уравнения можно выразить V_B: V_B = - V_A

Подставим это выражение во второе уравнение:

• 9 * (- V_A) * T - 9 * V_A * T = 0

Упростим: 18 * V_A * T = 0

Так как T ≠ 0 (время не может быть равным нулю), то у нас остается: V_A = 0

Это означает, что точка А движется со скоростью ноль, что не имеет смысла. Возможно, в условии задачи допущена ошибка или опечатка. Пожалуйста, проверьте условие задачи и уточните, если возможно.