Question

Помоги ради всего святого, отца, сына и святого духа, хрестом богом прошу,помогите иследовать функцию y=8+2x^2-x^4

Answer 1

Ответ:

===============================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я готов помочь вам исследовать функцию $y = 8 + 2x^2 - x^4$.

Эта функция - квадратичный полином, и её исследование включает в себя нахождение интересующих характеристик, таких как экстремумы, точки перегиба, интервалы возрастания и убывания, а также поведение на бесконечностях.

Давайте начнем с анализа:

1. Нахождение производной: Начнем с нахождения производной функции $y$ по переменной $x$: $y' = \frac{d}{dx} (8 + 2x^2 - x^4) = 4x - 4x^3.$

2. Нахождение критических точек (где производная равна нулю или не существует): Решим уравнение $4x - 4x^3 = 0$ для нахождения критических точек: $4x(1 - x^2) = 0.$ Из этого уравнения следует, что $x = 0$ или $x = \pm 1$.

3. Определение интервалов возрастания и убывания: Для анализа интервалов возрастания и убывания можно взять тестовые точки в каждом интервале между критическими точками и вне них:

   • Если $x < -1$, то $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
   • Если $-1 < x < 0$, то $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
   • Если $0 < x < 1$, то $y' > 0$, функция возрастает.
   • Если $x > 1$, то $y' < 0$, функция убывает.

4. Нахождение экстремумов: Так как производная меняет знаки в точках $x = -1$ и $x = 1$, можно предположить, что у нас есть экстремумы в этих точках. Для определения типов экстремумов (минимум или максимум) необходимо проанализировать вторую производную.

5. Нахождение второй производной и точек перегиба: Возьмем вторую производную функции $y$: $y'' = \frac{d^2}{dx^2} (4x - 4x^3) = 4 - 12x^2.$ Точка перегиба будет находиться в той точке, где $y'' = 0$. Решим уравнение $4 - 12x^2 = 0$ и найдем значения $x$. Это приведет к $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Итак, у нас есть следующая информация о функции $y = 8 + 2x^2 - x^4$:

• Критические точки: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.
• Точки перегиба: $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• Интервалы возрастания: $(- \infty, -1)$, $(0, 1)$.
• Интервалы убывания: $(-1, 0)$, $(1, +\infty)$.

Чтобы определить характер экстремумов и точек перегиба (минимумы, максимумы, выпуклость, вогнутость), нужно проанализировать значения функции $y$ и второй производной $y''$ в соответствующих точках.