Question

С полным, подробным и, главное, понятным решением, пожалуйста) Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции у=0,5х², D(y)= [–3√2; 3√2], а две другие — прямой у=9. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Answer 1

Пусть абсциссы вершин прямоугольника, лежащих на параболе у=0.5х²,  будут соответственно х и -х, тогда расстояние между ними х-(-х)=2х- одна сторона прямоугольника. Т.к. ординаты этих точек у=0.5х², то расстояние между у=9 и у=0.5х² находим как разность (9-0.5х²)- это другая сторона прямоугольника. Поскольку введены  стороны прямоугольника, они должны быть положительны.

х>0; 9-0.5х² >0;    (3√2-х*)(3√2+х) >0;  

____–3√2_________3√2_______

-                       +                      -

х∈(0;3√2)

Налицо задача на нахождение наибольшего значения функции на  открытом промежутке, х∈(0;3√2). Функция площади s=2х*(9-0.5х²).

Найдем производную функции s'=2*(9-0.5x²)-x*2x=18-x²-2x²=18-3х²

Найдем критические точки. 18-3х²=0⇒х=±√6 - в ОДЗ попадает только точка √6, исследуем ее на экстремум,

_______________0________√6____

                                 +                  -

Поскольку х=√6- единственная точка, принадлежащая промежутку (0;3√2), и при переходе через нее производная меняет знак с + на -  , то это точка максимума, в этой точке функция площади достигает наибольшего значения. s(√6)=2√6*(9-0.5(√6)²)=2√6*(9-3)=12√6

Ответ 12√6

Answer 2

Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью, который удовлетворяет заданным условиям, нужно найти точки пересечения графиков функций y = 0.5x² и y = 9. Затем по этим точкам строится прямоугольник, и мы ищем его максимальную площадь.

1. Начнем с нахождения точек пересечения:

Из условия: y = 0.5x² y = 9

Подставляем второе уравнение в первое: 0.5x² = 9

Решаем уравнение относительно x: x² = 18 x = ±√18 x = ±3√2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-3√2, 9) и (3√2, 9).

2. Теперь у нас есть вершины прямоугольника, которые принадлежат прямой y = 9 и графику функции y = 0.5x². Для нахождения двух других вершин прямоугольника, используем график функции y = 0.5x²:

Площадь прямоугольника S = длина * ширина

Длина прямоугольника будет равна расстоянию между x-координатами вершин, которые лежат на графике y = 0.5x²: Длина = 2 * (3√2) = 6√2

Ширина прямоугольника будет равна разности y-координат вершин, одна из которых находится на графике y = 0.5x², а вторая - на прямой y = 9: Ширина = 9 - 0.5(3√2)² = 9 - 4.5 = 4.5

3. Теперь можем найти площадь прямоугольника: S = Длина * Ширина = 6√2 * 4.5 = 27√2

Итак, наибольшая площадь прямоугольника, который удовлетворяет заданным условиям, равна 27√2 квадратных единиц.