Question

Решить неравенство x^2 * log(512,(x+7))<= log(2,(x^2 + 14x + 49))

Answer 1

Дано неравенство x² * log(512,(x+7))<= log(2,(x² + 14x + 49)).

Учтём, что 512 = 2^9 и x² + 14x + 49 = (x + 7)² .

Тогда исходное неравенство примет вид:

(x²log(2, (x + 7))/9) ≤  2log(2, (x + 7)).

Отсюда делаем вывод: логарифм нуля не существует, х ≠ -7.

Далее, логарифм 1 при любом основании равен 0.

Значит, это один из корней неравенства.

Если логарифм не равен 0, то тна него можно сократить

Получим х² = 18, х = ±√18 = ±3√2.

Ответ: -7 < x ≤ -6, -3√2 ≤ x ≤ 3√2.

Answer 2

Решение приложено

--------------------------------------------------------------------------------------------

Answer 3

Для решения данного неравенства, давайте приведем обе части к общему основанию логарифмов.

Исходное неравенство: x^2 * log(512,(x+7)) <= log(2,(x^2 + 14x + 49))

Найдем общий основание логарифмов, используя свойство: log(a,b) = log(c,b) / log(c,a)

Приведем основание логарифмов к 2: log(512,(x+7)) = log(2,(x+7)) / log(2,512) log(2,(x^2 + 14x + 49)) = log(2,(x+7)^2)

Теперь неравенство примет вид: x^2 * (log(2,(x+7)) / log(2,512)) <= log(2,(x+7)^2)

log(2,512) = log(2,2^9) = 9

Избавимся от дроби, умножив обе части неравенства на 9: 9x^2 * log(2,(x+7)) <= 9 * log(2,(x+7)^2)

9x^2 * log(2,(x+7)) <= 9 * 2 * log(2,(x+7))

Упростим: 9x^2 * log(2,(x+7)) <= 18 * log(2,(x+7))

Теперь вынесем общий множитель: 9x^2 * log(2,(x+7)) - 18 * log(2,(x+7)) <= 0

Вынесем log(2,(x+7)) как общий множитель: log(2,(x+7)) * (9x^2 - 18) <= 0

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: log(2,(x+7)) = 0 Это возможно только при x+7 = 2^0 = 1 x+7 = 1 x = -6

Случай 2: 9x^2 - 18 <= 0 Решим это неравенство: 9x^2 - 18 <= 0 9x^2 <= 18 x^2 <= 2 -√2 <= x <= √2

Итак, получаем два интервала, где неравенство выполняется:

1. x = -6
2. -√2 <= x <= √2

Таким образом, решением исходного неравенства являются все значения x из этих двух интервалов: {-6} и [-√2, √2].