Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: (1 + x 2) dy – 2x (y + 3) dx = 0.

Answer 1

Ответ: у = с (1 + х²) – 3.

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными давайте сначала перепишем его в стандартной форме:

(1 + x^2) dy - 2x (y + 3) dx = 0

Теперь разделим переменные, перемещая все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а члены с x на другую:

(1 + x^2) dy = 2x (y + 3) dx

Теперь разделим обе стороны на (1 + x^2) и на 2(y + 3):

dy / (y + 3) = 2x dx / (1 + x^2)

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫ (1 / (y + 3)) dy = ∫ (2x / (1 + x^2)) dx

Левую интегралу можно решить, заменив переменную:

ln|y + 3| = ln|1 + x^2| + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Теперь решим правую интегралу, используя метод замены переменной:

Заметим, что правая часть похожа на производную арктангенса:

∫ (2x / (1 + x^2)) dx = ∫ d(atan(x^2))

Интегрируем:

ln|1 + x^2| + C1 = atan(x^2) + C2, где C2 - другая постоянная интегрирования.

Теперь выразим y:

ln|y + 3| = atan(x^2) + C3, где C3 = C2 - C1.

Возведем обе стороны в экспоненту:

|y + 3| = e^(atan(x^2) + C3)

Рассмотрим два случая для абсолютных значений:

1. y + 3 = e^(atan(x^2) + C3)
2. y + 3 = -e^(atan(x^2) + C3)

Решения для y:

1. y = e^(atan(x^2) + C3) - 3
2. y = -e^(atan(x^2) + C3) - 3

Общее решение будет объединением обоих случаев:

y = e^(atan(x^2) + C3) - 3 или y = -e^(atan(x^2) + C3) - 3

Где C3 - произвольная константа.