Question

Решите задачу Коши y''+6y'=16y=0 y(0)=0 y'(0)=1

Answer 1

Ответ:

у=3

Пошаговое объяснение:

у=3

Answer 2

Для решения данной задачи Коши, мы можем использовать характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Характеристическое уравнение связано с исходным уравнением следующим образом:

r^2 + 6r + 16 = 0,

где r - неизвестная переменная.

Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение:

r = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 1, b = 6 и c = 16.

Подставляя значения, получим:

r = (-6 ± sqrt(6^2 - 4116)) / (2*1) = (-6 ± sqrt(36 - 64)) / 2 = (-6 ± sqrt(-28)) / 2.

Так как у нас присутствует отрицательное значение под корнем, то уравнение имеет комплексные корни:

r = (-6 ± sqrt(28)i) / 2 = -3 ± 2sqrt(7)i.

Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения:

y(t) = c1 * e^(-3t) * cos(2sqrt(7)t) + c2 * e^(-3t) * sin(2sqrt(7)t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь, используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 1, мы можем найти конкретное решение.

Подставляя t = 0, получаем:

y(0) = c1 * e^(0) * cos(0) + c2 * e^(0) * sin(0) = c1 = 0.

Теперь подставим t = 0 в производную y'(t):

y'(t) = -3c1 * e^(-3t) * cos(2sqrt(7)t) - 2sqrt(7)c1 * e^(-3t) * sin(2sqrt(7)t) + 3c2 * e^(-3t) * sin(2sqrt(7)t) - 2sqrt(7)c2 * e^(-3t) * cos(2sqrt(7)t).

y'(0) = -3c1 * e^(0) * cos(0) - 2sqrt(7)c1 * e^(0) * sin(0) + 3c2 * e^(0) * sin(0) - 2sqrt(7)c2 * e^(0) * cos(0) = -3c1 + 3c2 = 1.

Так как мы уже установили, что c1 = 0, получаем:

-3 * 0 + 3c2 = 1, 3c2 = 1, c2 = 1/3.

Таким образом, конкретное решение задачи Коши имеет вид:

y(t) = (1