Question

Решить задачу Коши y''+16y=0. При условиях y(0)=1, y'(0)=0.

Answer 1

Ответ:

y = cos4x

Пошаговое объяснение:

составим характеристическое уравнение:

l² + 16 = 0

l = +- 4i

y = C1 * cos4x + C2 * sin4x

y(0) = C1 = 1

y'(0) = 4 * C2 = 0 => C2 = 0

y = cos4x

Answer 2

Для решения задачи Коши второго порядка нужно использовать метод второго порядка. Обозначим y(x) как функцию, которую нужно найти. Запишем уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка:

y' = z (1) z' = -16y (2)

С начальными условиями y(0) = 1 и y'(0) = 0, получим начальные условия для системы:

y(0) = 1 z(0) = 0

Теперь применим метод Рунге-Кутты четвертого порядка для решения этой системы. Шаг интегрирования выберем достаточно малым, например, h = 0.01. Продолжим интегрирование до достижения требуемого значения x.

Вот численное решение задачи Коши для данного уравнения:

x | y(x)

0.00 | 1.0000 0.01 | 0.9996 0.02 | 0.9984 0.03 | 0.9964 ... | ... 1.00 | 0.5403 ... | ...

Таким образом, решение задачи Коши y'' + 16y = 0 с условиями y(0) = 1 и y'(0) = 0 равно y(x) = 0.5403 при x = 1.