Question

Докажите, что если (a, b) = 1, то (2a + b, a(a + b)) = 1. (a,b) - нод

Answer 1

Пусть (a, a+b) = k ≠ 1. Тогда a=k*s, a+b=k*l; l,s∈N, l>s. => b=k*l-a=k*(l-s) =>

(a, b)=(k*s, k*(l-s))=k*(s, l-s)≥k. Но тогда k≤1 - противоречие. А значит (a, a+b) = 1                                                  (1)

Т.к. a и a+b взаимно просты, то для любого натурального x (x, a(a+b))=(x, a)*(x, a+b). И правда: если x имеет общие множители с a(a+b), то множество этих делителей, общих с a, и множество этих делителей, общих с a+b, не пересекаются кроме как в 1 (иначе они не взаимно просты). А значит максимумы этих подмножеств также взаимно просты, и их произведение, очевидно, максимально возможное среди произведений двух элементов этих разных множеств . А значит произведение этих максимумов - искомый наибольший делитель.

Тогда  (2a + b, a(a + b)) = (2a + b, a) * (2a + b, (a + b)) = (a + (a + b), a) * (a + (a + b), (a + b)) = (*)

Аналогично доказанному ранее в пункте (1) имеем (a + (a + b), a) = (a + (a + b), (a + b)) = 1

(*) = 1*1=1

Ч.т.д.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом противоречия. Предположим, что (2a + b, a(a + b)) ≠ 1, то есть существует натуральное число d > 1, которое одновременно делит оба числа 2a + b и a(a + b).

Поскольку d делит 2a + b, мы можем записать: 2a + b = dm, где m - некоторое целое число.

Также, поскольку d делит a(a + b), то d делит само a, или d делит a + b (или оба случая).

1. Пусть d делит a, тогда: a = dn, где n - некоторое целое число.

Теперь мы можем подставить выражение для a в уравнение 2a + b = dm: 2(dn) + b = dm, 2dn + b = dm.

Мы знаем, что b = 2a + b - 2a, так что: 2dn + b = 2a + b - 2a + dm, 2dn + b = 2a + (2a + b - 2a) + dm, 2dn + b = 2a + 2a + b + dm, 2dn + b = 4a + b + dm.

Таким образом, мы видим, что d также делит разность (4a + b) - (2dn + b) = 2a. Это противоречие с предположением, что (a, b) = 1, так как d > 1.

2. Пусть теперь d делит a + b, тогда: a + b = dp, где p - некоторое целое число.

Теперь мы можем выразить b через p и a: b = dp - a.

Подставим это выражение для b в уравнение 2a + b = dm: 2a + dp - a = dm, a + dp = dm.

Мы видим, что d также делит a, и снова возникает противоречие с предположением, что (a, b) = 1.

Таким образом, в обоих случаях мы пришли к противоречию, что означает, что предположение о существовании такого d неверно. Следовательно, (2a + b, a(a + b)) = 1, если (a, b) = 1.